Neden rasgelelik, indirgemede algoritmalardan daha güçlü bir etkiye sahiptir?

Rastgeleliğin polinom zaman algoritmalarının gücünü arttırmadığı, yani, nin bekletildiği varsayılır. Öte yandan, rastgelelik polinom zamanını azaltmada oldukça farklı bir etkiye sahip görünüyor . Valiant ve Vazirani iyi bilinen sonucu olarak, azaltır randomize polinom zaman indirgenmesi yoluyla. Azalma ihtimalinin düşük olması muhtemel değildir, çünkü muhtemel olmadığı düşünülen değerini verecektir .${\bf P}={\bf BPP}$$SAT$$USAT$${\bf NP}={\bf UP}$

Merak ediyorum, bu asimetrik durumun nedeni ne olabilir: olasılıksal polinom zaman algoritmalarında derandomizasyon oldukça olası görünüyor, fakat olasılıksal polinom zaman azaltmalarında değil mi?

İlk önce Valiant-Vazirani azaltmasının özel durumu hakkında yorum yapmama izin verin; Bu, umarım, genel durumun netleşmesine yardımcı olur.

Valiant-Vazirani azaltma birkaç şekilde görülebilir / tanımlanabilir. Bu azalma bir karşılanabilir Boole formülü eşleştirmek için "çalıştığını" benzersiz-karşılanabilir için ve bir edilemezdir bir edilemezdir için . Tüm çıktı formülleri her zaman daha da kısıtlayarak elde edilir , bu nedenle memnuniyetsizlik her zaman korunur. İndirgeme tanımlanabilir ya da tek bir çıkış olarak veya bir listesini çıkış olarak . İkinci durumda, "başarı", en az bir benzersiz şekilde tatmin edici sahip olarak tanımlanır.$F$$F'$$F$$F'$$F$$F'$$F'_1, \ldots, F'_t$$F \in SAT$$F'_i$listede. Bu iki değişkeni sırasıyla "tekil azaltma" ve "liste azaltma" olarak adlandırın (bu standart terminoloji değildir).

Unutulmaması gereken ilk nokta, tekil azaltmadaki başarı olasılığının oldukça küçük olduğu, yani değişken sayısı olduğu . Bu başarı olasılığını iyileştirmedeki zorluklar makalede incelenmiştir.$\Theta(1/n)$$n$

"Valiant-Vazirani'nin İzolasyon Olasılığı Geliştirilebilir mi?" Dell ve ark.

http://eccc.hpi-web.de/report/2011/151/#revision1

Liste indirgemede, başarı olasılığı , poli boyutunda bir liste ile söylenebilir. (Örneğin, tekil azaltmayı yalnızca birkaç kez tekrarlayabilirsiniz.)$1 - 2^{-n}$$(n)$

Şimdi, hiçbir şekilde kesin veya sezgisel değil, yalnızca başarı olasılığına sahip bir azalmayı doğrudan geri çevirebilmeliyiz . Aslında, sertlik-rastlantısallık-sonuçlarının hiçbiri, bu durumda yapabileceğimiz hipotezler vermez. Liste indirgemesinin derandomize edilebileceği (biraz daha büyük bir listeyle) çok daha makuldür. Not Bu edeceğini olsa değil ima : formüllerin bizim çıkış listesi birçok benzersiz-karşılanabilir formülleri olabilir ve belki bazı çok tatmin atamaları ile ve böyle bir liste üzerinde bir eşsiz kabul hesaplama tanımlamak için denemek için umutsuz görünüyor. $1/n$$NP = UP$

Bir şekilde bir karşılanabilir olduğu bir liste azalma verebilir bile bir liste her zaman uyarılan en hakkındaki 's benzersiz karşılanabilir olan bu açmak için net bir yol yoktur izolasyon için deterministik bir tekil azaltma haline. Asıl temel zorluk, herhangi bir "benzersiz şekilde tatmin edici formüller için yaklaşık çoğunlukta işlem" en çok eğer üretimi benzersiz bir şekilde tatmin bir benzersiz bir şekilde tatmin ve çoğu ise$F$$F'_1, \ldots, F'_t$$F'_j$$R(F'_1, \ldots, F'_t)$$F'_j$$F'_j$tatmin edilemez. Bu aynı zamanda genel bir fenomene benziyor: indirimler, karar algoritmalarından daha karmaşık nesneler üretiyor ve bu nesnelerin özelliklerini kontrol etmek zor, bu yüzden bu nesnelerin çoğunu, çoğunluğun bir özelliğini miras alan tek bir nesnede birleştirmek daha zordur .

Valiant-Vazirani vakası için, elde edebileceğimiz makul derandomizasyon varsayımları altında bile muhtemel görünmüyor , yani, tatmin edici formülleri poly çözeltileri ile tatmin edici formülleri belirleyici bir şekilde azaltmak . Sezgisel olarak, bu, izolasyon prosedürünün , verilen formülünün sert set büyüklüğü hakkında hiçbir fikri olmadığı gerçeğinden kaynaklanmaktadır .$NP = FewP$$\leq$$(n)$$F$

Kahramanlık dünyasında, rastgeleliğin bize daha fazla güç verdiği örnekler vermek kolaydır. Örneğin, dengeli bir Boole işlevinin sıfırını bulma sorununu düşünün. Rastgele bir algoritma , sabit başarı olasılığı olan sorgularının kullanılmasının , herhangi bir deterministik algoritmanın en az sorgu gerektirmesini sağlar .$O(1)$$n/2$

Bu, randomizasyonun yardımcı olacağından şüphelenilen başka bir durum . Bir matroid kısıtlaması üzerinde monoton bir submodüler fonksiyonu en üst düzeye çıkarmak istediğimizi varsayalım. yaklaşımı veren iki farklı algoritma vardır ve bu, Vondrák sonucu bu modelde en uygunudur. Her iki algoritmanın da formunun bir fonksiyonunu hesaplaması gerekir , burada üstel destekli bir dağıtımdır. Bu fonksiyonun hesaplanması tam olarak çok maliyetlidir, ancak örnekleme ile yaklaştırılabilir ve sonuç randomize bir algoritmadır. Buna karşılık, en iyi bilinen deterministik algoritma, açgözlü algoritma, yaklaşımı verir .$1-1/e$$\mathbb{E}_{x \sim X} f(x)$$X$$1/2$

Benzer bir durum kısıtlanmamış submodüler maksimizasyonda ortaya çıkar (burada fonksiyon mutlaka monoton değildir). Son atılım algoritması optimal yaklaşım verir , ancak deterministik versiyonu sadece yaklaşım verir . Burada, randomizasyon, monoton durumda olduğu gibi aynı şekilde, ya da (algoritmanın farklı bir versiyonunda) yol boyunca birkaç rastgele seçim yaparak kendini gösterir.$1/2$$1/3$

Bu makalenin yazarlarından biri, deterministik bir algoritmanın elde edebileceği en iyisi olduğunu ve benzer şekilde , önceki problemde elde edilebilecek en iyisinin olduğunu tahmin edebiliriz. Eğer bu varsayımlar doğruysa, bu, randomizasyonun kesin olarak yardımcı olduğu çok doğal bir durumdur.$1/3$$1/2$

Son zamanlarda, Dobzinski ve Vondrák, oracle düşük sınırlarının (randomize algoritmalar için), RP'den farklı olarak koşullu olarak RP'ye (anahtar bileşen listesinin kodunu çözme) şartlı olarak nasıl sert sonuçlara dönüştüreceğini gösterdi. Dönüşümün, kehanetin alt sınırlarını kanıtlamak için kullanılan belirli bir yönteme dayandığını belirtmeliyiz. Belki de deterministik değer kehanet alt sınırlarının da sertlik sonuçlarına dönüştüğü doğrudur.

Size neden tuhaf geldiğinin bir nedeni, den yapılan rasgele indirgemede den kadar ' , rastgele olarak ne eklediğiniz "makineden" bağımsız olarak güçlü (ya da güçlü olmayan) bir şey olarak düşünmeye (eğer bu karmaşıklık sınıflarını makine modellerinden kaynaklanan sınıflar olarak karikatürize edersek) .$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf P$

Yine de, farklı güçlerin bu azalması var. Aslında, rastgelelik gibi bir hesaplama kaynağı mutlaka "önemli" veya "önemli olmayan" bir miktar hesaplama gücüne sahip değildir.

Kendisi için düşük olan herhangi bir karmaşıklık sınıfını düşünebiliriz - örneğin, , , , , veya - makinenin her zaman herhangi bir zamanda soru sorabileceğiniz iyi tanımlanmış bir duruma sahip olduğu ve aynı zamanda hesaplamanın sorduğunuz sorunun ötesinde devam etmesine izin veren bir makine modeline uygun olmak: özünde, tam olarak makine bir algoritmayı diğeri için alt yordam olarak simüle edebilir. Hesaplamayı yapan makine, kendimizi kaynaklar üzerindeki pratik kısıtlamalarla sınırlandırırsak özellikle gerçekçi olmayabilir ( örneğin;$\mathsf L$$\mathsf P$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{BQP}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{PSPACE}$ Fiziksel olarak gerçekleştirilebilir ve düşük dereceli polinom zamanında ilgilenilen problemler için cevaplar üretebiliyor), ancak olmayan bir makinenin başka bir sorunun cevabını nasıl üretebileceğini ve cevabı (yinelenmiş) konjonktif ve ayrık doğruluk tablosu indirgemelerinin yanı sıra herhangi bir şekilde kullanın - böyle bir sınıfın, sorgulayabileceğimiz iyi tanımlanmış bir duruma sahip bir makine tarafından somutlaştırıldığını hayal etmek bizi fena halde yoldan saptırmaz. .$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Bu pozisyonu alırsak, bu hesaplama modellerini rastgelelik veya gibi ekstra imkanlar ne olacağını sorabiliriz . (Bu ekstra tesisler, özellikle klasik olmayancılık durumunda, bir makine modeliyle yorumlanabilme özelliğini korumaz, ancak 'yeni' sınıflara yol açarlar.) Bu ilave tesis modele daha fazla güç verirse, yükselişe geçiyor. bir sınıf için , bundan bir azalma olduğunu söyleyerek etkisi eşdeğeri olmadığı için o tesis kullanarak, örneğin  rastgelelik durumunda bir randomize azalma.$\mathsf M$$\mathsf C$$\mathsf C$$\mathsf M$

Bunu kendileri için düşük olan sınıflar olarak tanımlamamın nedeni, “başka bir dünyada olası hesaplama modelleri” olduklarını ciddiye alırsak, randomize indirimler hakkındaki sorunuzun rastgele göründüğü gerçeğine karşılık gelmesidir. önemli ölçüde bazı modellerin gücünü artırırken diğerlerini arttırmıyor .

Dan randomize indirimleri yerine için , biz tümünden randomize azalma olduğunu gözlemleyebiliriz sınıfı - hangi Teoremi tarafından sınırlı hata rastgeleliği eklerseniz elde edilir . Ve sorunuz daha sonra şöyle sorulabilir: bu neden oluyor ? Neden bazı makineler rastlantısallıktan, diğerlerinden ise bu kadar az kazanıyor? Durumunda Modülo-2 gerekirci olmayan makinalar tanımında gerektirdiği gibi, bu gibi görünüyor$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{BP\cdot\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{BP\cdot\oplus P}$$\mathsf{\oplus P}$(temelde bir sayım niceleyicisi modulo 2), bize varolan ve evrensel nicelleştiricilerin bütün sınırlandırılmamış bir hiyerarşisinin eşdeğerini vermek için sınırlanmış hatada (esasen söz veren bir boşluğu olan bir sayım niceleyicisi) gerekli rastgeleliği katalize eder. Fakat bu, in kendisinin yaklaşık olarak tüm polinom hiyerarşisi kadar güçlü olduğu anlamına gelmez, değil mi? Sınırlı hata rastgeleliği ya da modulo-2 sayma kaynaklarının neredeyse o kadar güçlü olduğu düşünülmemektedir. Ne gözlemlemek olduğunu birlikte , bu iki nicelik vardır o kadar güçlü.$\mathsf{\oplus P}$

Ayrıca, rastlantısallığın mutlak terimlerle zayıf olduğunu gerçekten söyleyip söyleyemeyeceğimize dair bir soru var: sıradancılıkçılığa göre: rastgelelik çok zayıfsa ve bu kadar ikna , neden Polinom hiyerarşisinde sadece , iki belirsizlik düzeyi kullanarak , sadece bir tanesini ? Ancak bu, basit polinom-zaman hesaplamasına eklenen rastlantısallığın fazla güç sağlamadığından şüphelenmemize rağmen, söz konusu ilave gücün, söz konusu türden sadece az miktarda tarafsızlıksızlık kullanarak nasıl simüle edileceği hakkında hiçbir fikrimiz olmadığı sonucuna varabiliriz. içinde ve . (Tabii ki, kanıtlamak zor$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$$\mathsf{BPP} \subseteq \Sigma^{\mathsf p}_2 \cap \Delta^{\mathsf p}_2$$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$karmaşıklık teorisinde önemsiz olan herhangi bir şey ; Fakat bu yine sadece bu farklı kaynak türlerinin bir ölçekte karşılaştırılmasının zor olduğunun ifadesidir!)

Bu şimdiye kadar sadece o gözlemlemek dışında dava olmalıdır neden savunmak verebilir dair hiçbir güçlü argüman yoktur olduğu durumda; ve eğer nin , den farklı olduğunu ve olduğunu düşünüyorsanız rastgelelik ve gerekirci olmayan makinalar gibi kolayca birbirine benzer olmayan güçlere sahip olabilir ve hangi edebilirsiniz sinerji veya katalize birbirlerini ne biri makul bir şekilde kendi başına olurdu hesaplama gücü vermek. Hipotezi "rastgelelik bir güce sahip", ancak bu rastgele bu değil , tek başına$\mathsf{PH}$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{BPP} \approx \mathsf{P}$$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$(veya daha doğrusu, yalnızca polinom zaman hesaplaması ile desteklenmiş ve başka türlü deterministik bir hesaplama modeline sağlanan) güçlü değildir. Ancak bu, başka hesaplamalı kaynaklar tarafından katalize edilebilecek rastlantısallıkta güç olamayacağı anlamına gelmez.