“P” ve “NP-hard” un rahat semtleri

Let algoritmik bir görev olabilir. (Bu bir karar problemi veya bir optimizasyon problemi veya başka herhangi bir görev olabilir.) Eğer NP zor olduğunu varsayarsak , polinom hieararchy'nin çöktüğü anlamına geldiği bilinen "polinom tarafında" olarak adlandıralım. bir polinom algoritması kabul ettiğini varsayarsak , polinom hiyerarşisinin çöktüğünü ima ettiği biliniyorsa, "NP tarafında" diyelim .$X$X X $X$$X$$X$$X$

Tabii ki, P'deki her problem polinom tarafında ve NP-zor olan her problem NP tarafındadır. Ayrıca, örneğin, faktoring (veya NP kesişimi coNP'deki herhangi bir şey) polinom tarafındadır. Grafik izomorfizmi polinom tarafındadır. KUANTUM ÖRNEKLEME NP tarafındadır.

1) Polinom tarafında algoritmik görevlerin daha çok (mümkün olduğunca doğal) ve (özellikle de) NP tarafında daha fazla örnekle ilgileniyorum.

2) Doğal olarak, NP tarafının NP zorlu sorunların bir tür "mahallesi" ve P tarafı "P'nin bir mahallesi" gibi görünüyor. NP tarafındaki problemleri P tarafındaki problemlere kıyasla "oldukça zor" olarak görmek doğru bir fikir mi? Ya da NP tarafındaki sorunları “ahlaki açıdan NP-zor?” Olarak görmek

3) (Bu açık olabilir ama göremiyorum) Her iki tarafta da bir var mı yoksa böyle bir olası olmadığına inanmak için teorik sebepler var mı ? Güncelle Cevap YES; Yuval Filmus'un aşağıdaki cevabını görün.$X$$X$

(Bu "taraflar" gerçek karmaşıklık sınıflarıyla ilgiliyse ve bazı ilgili cc jargonlarını veya ilgili sonuçları kaçırırsam lütfen bana bildirin.)

Güncelleme:Şimdi soruya çok iyi birkaç cevap var. İlk olarak Yuval Filmus tarafından belirtildiği ve tekrar belirtildiği gibi, soru resmi değildir ve X'in P tarafında / NP tarafında olduğunu iddia eden tartışmaya bazı kısıtlamalar getirilmesi gerekmektedir. (Aksi takdirde, X'in her iki taraftaki 0 ​​= 1 için bir kanıt sunma görevi olabilir.) Bunu bir kenara koyarsak, NP tarafındaki X (gerçekten) sorununu bir şekilde sertliği yakalamak durumunda olabilir. SAT'nin sertliği zayıflatıldığı (hatta biraz da olsa) P-tarafındaki bazı problemler için geçerli olabilir. Yuval Filmus, her iki tarafta da zayıflamış bir SAT sürümü verdi. Andy Drucker (iki cevapta) Schöning'in Düşük ve Yüksek hiyerarşilerine atıfta bulunan beş ilginç örnek ve Scott Aaronson ilginç örnekler verdi. NP sertliğini yakalamaya yakın ve henüz P tarafında tek yönlü bir işlevi tersine çevirme sorunundan bahsetti ve cevabı da QUANTUMSAMPLING'in ilginç örneğini tartışıyor. Feige ve Lund tarafından bu tür eski bir sonuçla karşılaştım.

"P tarafında" ve "NP tarafında" terimleri ve elbette soru başlığı, P'yi çevreleyen "rahat bir semt" ve NP gibi zor sorunları çevreleyen "rahat bir semt" hayal etmemizi teşvik eder. Ancak, bu iki mahallenin hiç de "rahat" olmadığını iddia etmek istiyorum!

İlk gözlem olarak, NP’e P’den çok daha "ahlaki açıdan" daha yakın görünen "P-tarafında" sorunlar var. Gil’in tahmin ettiği bir örnek, tek yönlü işlevlerin tersine çevrilmesinin genel sorunudur. tam olarak ne tür bir azaltmaya izin verildiğine bağlı olarak, bkz. Bogdanov-Trevisan veya Akavia ve diğerleri).

Tersine, “NP tarafında”, NP keyfi olmaktan “keyfi olarak uzak” görünen sorunlar da var. Aptal bir örnek, L üzerinde olasılık 1 olan, rastgele bir L dilidir! Eğer böyle bir L P'de ise, o zaman 0 = 1 ve matematik tutarsız ise ve dolayısıyla PH da çöker. ;-D

(Tesadüfî bir L dilin de "P tarafında", L'nin 1 olasılıkla 1 olduğunu unutmayın. Neredeyse tüm L'ler NP-sertlerse, o zaman NP⊆BPP ve PH'nın çöktüğü özelliğine sahiptir. Ladner Teoreminin çekiciliğinden daha basit, her iki tarafın da dilleri bulunduğuna dair bir kanıt veriyor. Gerçekten de, dillerin sayılamayan sonsuzluğunun, bunların neredeyse "hepsinin" olduğunu gösteriyor - aslında,% 100 - iki tarafta da var!)

Bu çocuk oyununa benziyor, ama ondan çizmek istediğim ciddi bir ders var. KUANTUM ÖRNEKLEME resmen “NP tarafında” olsa da, bu sorunun, L'nin rasgele diline nazaran “ahlaki açıdan NP-zor” olmaktan neredeyse daha yakın olmadığını iddia ediyorum. Arkhipov ve ben (ve bağımsız olarak, Bremner-Jozsa-Shepherd), QUANTUM ÖRNEKLEME'nin P (veya daha doğrusu, SampBPP'de, polinomal olarak çözülebilir örnekleme problemlerinin sınıfı), daha sonra P ^#P = BPP ^NP ve dolayısıyla polinom hiyerarşisi çöktü. Oysa eğer BPP makinesi olursanız, BosonSampling için bir kehanet, bildiğimiz kadarıyla NP-tam sorunların çözümünde sizi rastgele bir kehanetinkinden daha fazla yaklaştıramaz. Eğer Sadece eğer zaten NP-tam problemleri çözmek için yeteneği var - söz,^NP makinesi - BosonSampling oracle'nin yeteneklerinizi daha da artıracağını "P" olarak anlıyorsunuz. Ancak, NP'yi #P'ye yükseltme özelliği, kendi başına NP zorlu olma özelliğinden farklı, hatta belki de "dikine" görünmektedir.

Bu arada, Gil'in sorusunun önerdiği harika bir açık sorun BosonSampling'in aynı zamanda “P tarafında” olup olmadığıdır. Yani, eğer NP BosonSampling’e düşerse PH’ın çöktüğünü gösterebilir miyiz? Açıkça net bir şeyi kaçırmış olsam da, ilk bakışta böyle bir şeyi nasıl ispatlayacağına dair hiçbir fikrim yok, NP ⊆ BQP'nin ardından PH'nın çöktüğü gibi daha güçlü bir ima etmeyi ispatladığımdan daha fazla.

İkisi de bir cevabı ifade etmeyen, ancak bazı ek okumalar sağlayabilen iki yorum.

1) Schöning, sizin düşüncelerinizle ilgili olan "Düşük Hiyerarşi" ve "Yüksek Hiyerarşi" adı verilen iki NP problem sınıfı tanımladı. Özellikle, LowH'deki problemler "P tarafında" ve HighH'deki problemler NP tarafındadır. Karmaşıklıkta iyi bilinen bir takım sonuçlar bu çerçevede ifade edilebilir. Örneğin, Karp-Lipton teoremi, PH çökmediği sürece NP'in P / poly'de olmadığını söyler; bu, NP P / poly'un sabit bir LowH seviyesinde (Karp-Lipton prova tekniğinin gösterdiği gibi) bulunması gerçeğinin bir sonucudur . NP P / poly veya LowH'in P'de yer almasını beklemediğimizi unutmayın. Özellikle LowH ile ilgili bir anket için bkz.$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

2) Bir Boolean işlevinin tam doğruluk tablosunun verildiği ve boyutunda bir Boolean devresine sahip olup olmadığı soruldu . Bu sorun NP’dedir ve P’de olma olasılığı düşüktür (birkaç şaşırtıcı sonuç doğurur). Öte yandan, bu sorun için NP'nin eksiksiz olduğunun bir kanıtı, eğer oldukça doğal kısıtlamalara uyması halinde, bize karmaşıklık teorisinde güçlü yeni sonuçlar verecektir. Bu Kabanets ve Cai tarafından$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

Açık olmak gerekirse, bu sorunun NP zor olmadığına veya herhangi bir şekilde kolay olduğuna dair gerçek bir kanıt yoktur . Fakat NP'deki diğer zor sorunlardan oldukça farklı görünüyor. Bunun NP-ara problemler için en ilginç adaylar arasında olduğunu ve iyi bilinenlerden biri olmadığını düşünüyorum.

Russell Impagliazzo'nun Ladner'ın teoreminin kanıtı 3'e örnek teşkil ediyor. Bütünlük uğruna, aşağıda algoritmik görev tanımını kopyalarım ve her iki durumda da "her iki tarafta da" güçlü bir anlamda olduğunu kanıtlarım: P'ye çöküyor Ekteki Downey ve Fortnow un Uniformly Hard Set'lerine uyarlanan (hafifçe) bağlantılı notta (Fortnow ve Gasarch'ın blogundan alınmış) daha fazla ayrıntı bulunabilir .$X$

, tüm saatli polytime Turing makinelerinin numaralandırması olsun , öyle ki , zamanında son bulur . Devamında çiftlerden bahsedeceğiz . Bunların makul bir şekilde ikili dizeler olarak kodlandığı varsayılmaktadır.M i , n log giriş i ( α , β $M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

Özyinelemeli bir fonksiyonunu tanımlarız . İlk önce, . Verilen , aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. Let her çiftinden meydana gelmektedir bu şekilde ve tatmin edici bir formül. En fazla uzunluğunda bir ikili dizesi varsa , sonra , aksi takdirde . Kontrol etmek zor değildir zaman polinom hesaplanabilir .$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

Son olarak, algoritmik görevi tanımlayabiliriz : bu, tatmin edici bir CNF olduğu tüm çiftlerden oluşur . Not bu .$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

Eğer bir polytime algoritması vardı sonra tüm ve böylece SAT çözmek için kullanılabilir.$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

Sonra, bir polytime azalma vardı herhalde kadar SAT dan , zaman ayırdığınız söylemek . Eğer bir polytime algoritmasına sahipse, PH'ın P'ye çarptığını gördüğümüz gibi. Aksi takdirde, ve özellikle, için . Bu nedenle, , daha büyük herhangi bir SAT örneğini alır ve onu daha küçük bir örneğe indirger veya formda olmayan bir dize verir ; örneği polytime olduğundan son durum polytime olarak tanınabilir . Yinelenen$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$SAT için bir polytime algoritması elde ettik.

Polinom Hiyerarşisinin yıkılmadığı hipotezi, karmaşıklık teorisinde keşfedilmenin en verimli yollarından biri olmuştur. Bu sonuçların birçoğu, belirli algoritmik görevlerin "P tarafında" veya "NP tarafında" olduğu şeklinde ifade edilebilir. çöküşü, zayıf hipotez çok daha fazla sahip görünüyor ve hepsini tek bir kısa mesaja sokmak imkansız olacak. Bu çalışmanın çeşitliliği hakkında küçük bir anlam veren üç örnek vereyim.$PH$$P \neq NP$

1) Herhangi bir hesaplama sırasında iki kehanet sorgusu yapan "kehanet kapıları" olan bir devre girişi olarak verildiğini varsayalım. Bir kâhinde koşarken kabul edip etmediğini bilmek istiyoruz . Tabii ki, bu zor. Ama biz sadece tek bir sorgu yapar eşdeğer birine devreyi azaltmak için içerik olacağını varsayalım . Bu görev bile zor mu? Bunu çözmenin olacağı anlamına gelmiyor . Ancak, '88'de Kadin, bunun yapmanın Poly Hiyerarşisini çökerteceğini gösterdi. Anket ve iyileştirilmiş sonuç için, Fortnow, Pavan ve Sengupta'nın bu makalesine bakın:$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

2) Eğer verilen bir varsayalım örneği boyutu , yalnızca sona Boolean değişkenleri. Bir miktar sabit polinomun ( bağımsız ) ile sınırlandırılmış tatmin edici eşdeğer bir formül formülüne etkin bir şekilde "küçültebilir miyiz ?" Bir üstel zaman algoritması çalıştırmadan önce bu değerli bir ön işleme adımı olacaktır. Bu tür bir azalma, sertliğinin temel olarak bir örneğin çözüm arama alanı boyutundan kaynaklandığı fikrinin güçlü bir ifadesi olacaktır .ψ m , n « m ψ n m G bir $SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

Bodlaender, Downey, Fellows ve Hermelin sorusuna cevaben, Fortnow ve Santhanam tarafından, böyle bir sıkıştırma azaltmasının muhtemel olmadığı, çünkü Poli Hiyerarşisini çökerteceği gösterilmiştir:

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

Onların sonuçları tek taraflı hataya izin veren rastgele indirgemelere uygulandı. İki taraflı hata için ilgili sonucu ispat ettim.

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

(Bu makalelerin her biri aslında yukarıda belirtilen sonuçlardan daha güçlü ve daha spesifik bilgiler vermektedir.)

3) Bazen, çöküş olmayan varsayımını kullanarak bir sorunun zor olduğunu ispatlamak istiyoruz , ancak böyle bir sonuç çıkmıyor. Bazen nedenini açıklamak için ağızları kullanmak mümkündür. Örneğin, sürekli fonksiyonların sabit noktalarını bulma (ve oyunların Nash dengesini) bulma ifade eden sınıfının , sonsuz olduğunu varsaymakta zor olduğunu göstermeyi çok isteriz . Ancak Buhrman ve ark. Orada, bir torpil olduğunu göstermiştir (ve sınıf tüm diğer sorunlar ) kolaydır, ancak sonsuz:P P bir D P , H A P P A D bir T F N P bir P , H $PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

Bazı insanlar kehanet sonuçlarının önemine itiraz ediyorlar, ancak karmaşıklık teorisyenlerini sonuçsuz sorgulama yollarını izlemekten kurtarabilecekleri konusunda hiçbir soru olmadığını düşünüyorum. Bu kesinlikle böyle bir durumdur. (Temel olarak, tüm "formunun deliller bilinen içinde Bu sınırlamaları işaret, görecelileştirmeyi edilir AFAIK. Çöker") olmayan çökme varsayım ve ek hipotez keşfetmek önemi.P ⇒ P H P $X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

Bu sonucun karşısında, polinom hiyerarşisi çökmediği sürece rastgele bir matrisin kalıcılığı hakkında çok kısmi bilgi bile bulmak zor olduğunu gösteren Feige ve Lund tarafından geldim.

Uriel Feige ve Carsten Lund, Rastgele Matrislerin Kalıcılığını Hesaplamanın Sertliği Üzerine. Hesaplamalı Karmaşıklık 6 (1996/1997) 101-132.

Ayrıca Uri Feige'den dikkatimi çektiğim iki ek sonuçtan da bahsedeyim:

Aşağıdaki iki makale bunu çekirdekleme bağlamında uygulamaktadır (sabit parametre izlenebilir algoritmalar).

Hans L. Bodlaender, Rodney G. Downey, Michael R. Dostları, Danny Hermelin: Polinom çekirdeği olmayan problemlerde. J. Comput. Sist. Sci. 75 (8): 423 - 434 (2009)

Lance Fortnow, Rahul Santhanam: NP için örnek sıkıştırma ve özlü PCP'lerin olanaksızlığı. J. Comput. Sist. Sci. 77 (1): 91-106 (2011)