Seyrek Grafikler için Düzenli Limma

Szemeredi'nin Düzenliliği Lemma, her yoğun grafiğin, birçok çift taraflı genişletici grafiğin bir birliği olarak yaklaştırılabileceğini söylüyor . Daha doğrusu, çoğu tepe noktasının kümeleri halinde bir bölümü vardır, öyle ki kümelerin çoğu çift taraflı genişleticiler oluşturur (bölümdeki kümelerin sayısı ve genişletme parametresi yaklaşık değer parametresine bağlıdır): $O(1)$ $O(1)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

Seyrek grafikler için "iyi davranış gösteren" bu Lemmanın versiyonları vardır, bkz.

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

Bu formülasyonlar hakkında beni şaşırtan şey, yalnızca bölümdeki kümelerin çoğunun iki taraflı genişleticiler oluşturduğunu garanti etmeleridir ve bu iki taraflı genişleticiler boş olabilir. Bu nedenle, genel olarak seyrek grafiklerde, köşelerdeki farklı bölümler arasındaki tüm kenarların bir genişleticiye ait olmaması oldukça olasıdır.

Merak ediyorum, parçalar arasında en fazla kenarın bir genişleticiden mi geldiğini veya bu tür bir formülasyon için umut olmadığını mı söylüyorsunuz?

graph-theory co.combinatorics expanders

— Dana Moshkovitz
kaynak

ama yoğun grafikler için olan thm'nin seyrek olanlar üzerinde bazı şekillerde parçalanması sezgisel görünmüyor mu? bağlantılı wikipedia 'nın aslında daha sonra bir yorumlama / formülasyon olabileceğini gösteren genişletici grafikler hakkında hiçbir şey söylemediğini not edin ...

— vzn

(1) Takımların iyi davranış çiftleri için genel terim "normal çiftler" dir (Wikipedia'da "sözde rastgele" çift). Bunu "iki taraflı genişleticiler" ile değiştirdim çünkü bu terminolojiyi benim için daha doğal buluyorum. Her durumda, amaç, çiftin her iki tarafından da yeterince büyük alt kümeler seçerseniz, alt kümeler arasındaki kenar sayısının çiftteki kenar sayısı ile orantılı olmasıdır. (2) Elbette, yoğun grafikler için doğru olan seyrek grafikler için doğru olmaktan çıkabilir. Benim sorum tam olarak, yoğun durumda olan özelliklerin seyrek durumda tutmaya devam etme derecesi ile ilgilidir.

— Dana Moshkovitz

Aşağıda bir çok uzatan cevap, ama tl; dr genel durumda orada böyle bir formülasyon için hiçbir umut olduğunu, ancak bu formülasyon mevcut lemmaları düzenlilik var seyrek grafiklerin belirli sınıfların çoğu için.

Arka plan için, SRL'nin iki popüler sürümü vardır. Bunlar: herhangi bir sabit $\varepsilon > 0$ ve herhangi bir $n$ düğüm grafiği $G = (V, E)$ , biri $V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ $p = O_{\varepsilon}(1)$ bölümlerine bölebilir . ..

(Kombinatoryal İfade) (1) $|V_0| \le \varepsilon n$ ve herhangi bir $V_1, \dots, V_p$ boyutları en fazla $1$ ( $V_0$ "olağanüstü set" olarak adlandırılır) ve (2) kalan bölümlerin $\varepsilon p^2$ çiftinden $(V_i, V_j)$ tatmin et
$| d (S, T) - d (V_{ben}, V_{j}) | < ε hepsi için S \subseteq V_{ben}, T \subseteq V_{j}$ $\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$ (burada $d(\cdot, \cdot)$ parçalar arasındaki yoğunluğu, yani mevcut kenarların fraksiyonunu verir).

(Analitik Phrasing) izin vermek
$d ben s c (V_{ben}, V_{j}) : = \underset{S \subseteq V_{ben}, T \subseteq V_{j}}{maksimum} | V_{ben} | | V_{j} | | d (V_{ben}, V_{j}) - d (S, T) |,$ $\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$ biz $Σ_{ben, j = 0}^{p} d ben s c (V_{ben}, V_{j}) < ε n^{2} .$ $\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$

"Analitik cümleleme" daha modern ve (Ben popüler oldu düşünüyorum grafik limitleri vb ile ilgili ise "birleştirici cümleleme" (Ben sadece onlar standart değildir, bu isimleri oluşan), orijinal ve muhtemelen daha ünlü biri burada). Benim gözüme göre analitik, "iki taraflı genişleticiler birliği tarafından yaklaştırılan grafiğin" doğru biçimselleştirilmesidir, çünkü böyle bir yaklaşımın toplam "hatası" nı kontrol eder ve kütlenin gizleneceği istisnai bir küme yoktur. Ancak bu noktada bu sadece kozmetiktir, çünkü bu iki ifadenin eşdeğer olması kolay ama önemli bir lemmadır. Kombinatoryal'den Analitik'e ulaşmak için, sadece sendika, düzensiz parçaların ve istisnai durumun tutarsızlığına olan katkısını sınırladı. Analytic'ten Combinatorial'a ulaşmak için, istisnai sete çok fazla tutarsızlık kazandıran herhangi bir parçayı hareket ettirin ve kitlesini kontrol etmek için Markov'un Eşitsizliğini uygulayın.

$\varepsilon$ $\varepsilon d(G)$ $d(G)$ $G$ Daha ziyade, Analitik cümle daha güçlüdür: Hala tam olarak önceki gibi Combinatorial anlamına gelir, ancak Combinatorial genellikle Analitik anlamına gelmez, çünkü (OP'de öngörüldüğü gibi), istisnai bir grupta veya normal olmayanlar arasında potansiyel olarak çok fazla yoğunluk gizleyebilir. parça çiftleri. Aslında, bu ayrım resmidir: yoğun SRL için alt sınır grafikleri (yani, bu ), Analitik İfadenin genel olarak seyrek grafiklere yayılmadığını, ancak OP’de bağlanan Scott’ın makalesinin Kombinatoryal İfadenin aslında hiç bir şart olmaksızın bütün seyrek grafikleri genişletiyor.

OP’de bağlanan anket çoğunlukla "üst sıradan" seyrek grafikler için bir SRL’den bahsediyor, bu da kabaca grafiğin sabit bir faktörden daha ortalama olarak daha yoğun kesiklerinin olmadığı anlamına geliyor. Bu özel grafikler için, Kombinatoryal ve Analitik ifadeler eşdeğerdir, çünkü istisnai kısımlarda gizlenmiş çok fazla kütle bulunmaz, bu nedenle tutarsızlığa katkıları yoğun durumda olduğu gibi birleştirilebilir. Bu yüzden bu grafikler “iki taraflı genişleticilerin birliği ile yaklaşık olarak” yorumuna sahiptir.

$L_p$

— GMB
kaynak

Ayrıca, iş parçacığı endişesi için özür dilerim - bu sadece şu anki aydınlatmalı incelememe uygun oldu ve bulduğumu paylaşacağımı düşündüm.

— GMB