Özdeğerleri hesaplamanın uzay karmaşıklığı nedir?

Matris sıralaması, özdeğer hesaplaması vb. Gibi ortak doğrusal cebir işlemlerinin uzay karmaşıklığı ile ilgili sonuçları kapsayan bir anket kağıdı veya bir kitap arıyorum. zaman sonuçlarını izlemek daha kolaydır. Konuyla ilgili herhangi bir referansı takdir ediyorum.

Teşekkürler.

linear-algebra space-complexity

— gil
kaynak

Benim tahminim karmaşıklığın her zaman en fazla doğrusal olmasıdır (örneğin , bir matrisi için ). "Toplam alan" veya "çalışma alanı" ile ilgileniyor musunuz?

O (n m)

$O(nm)$

n \times m

$n\times m$

— Yuval Filmus

çalışma alanıyla ilgilendiğimi söylemeliydim.

— gil

Eminim

matrisi için

. Temel nedeni, onları hesaplamak için iki yararlı yöntem biliyorum ve her ikisi de uzayda kuadratik. Birincisi karakteristik polinomu (kuadratik) hesaplamak ve kökleri bulmaktır. İkincisi, tümünün değiştirilmiş bir matrisi depolaması gereken bazı yaklaşım yöntemlerini kullanmaktır (ancak bunun üzerinde ayrıntılı bir şekilde durmam, sayısal doğrusal cebir çalıştığımdan beri bir süredir).

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

n \times n

$n\times n$

— '

@Yuval Filmus tarafından yapılan noktayı genişletmek için, alan karmaşıklığı belirli hesaplama modeline oldukça duyarlıdır. Özellikle, çıktı doğrusal boyutta olduğundan, model açıkça salt okunur bir çıktı bandı belirtmedikçe, çıktı bandı çalışma alanı olarak kullanılarak hile çalınabilir. Bu tür sorunları önlemek için, karar problemleri olarak yeniden ifade etmeye cazip geleceğim (örneğin, girdi üç matrisi olarak verilir, üçüncüsünün ilk ikisinin ürünü olup olmadığını kontrol edin). Aklınızdaki modeli belirleyebilir misiniz? (Ayrıca, alan karmaşıklığıyla ilgili kitapların farkında değilim ve yararlı anketler de bulamadım.)

— András Salamon

@ AndrásSalamon ile ilgili olarak, benim için yararlı olan bir karar versiyonu şöyle olabilir: q'dan daha büyük olan 6. özdeğer. tamsayı k ve rasyonel q için. Teşekkürler.

— gil

Yanıtlar:

Tamsayılar (veya gerekçeler) üzerinde lineer cebirdeki birçok yaygın sorunun karar versiyonları sınıfındadır , makaleye bakınız. $\mathsf{DET}$

Gerhard Buntrock, Carsten Damm, Ulrich Hertrampf, Christoph Meinel: Logspace-MOD Sınıfının Yapısı ve Önemi. Matematiksel Sistemler Teorisi 25 (3): 223-237 (1992)

$\mathsf{DET}$ , . $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

Özdeğerlerin hesaplanması biraz daha hassastır:

1) de karakteristik polinomun katsayıları hesaplanabilir. $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

2) Daha sonra özdeğerlere yaklaşımları hesaplamak için Reif ve Neff ile paralel algoritmayı kullanabilirsiniz. Algoritma, bir CREW-PRAM üzerinde polinom olarak çok sayıda işlemciyle logaritmik zamanda çalışır, bu nedenle poli-logaritmik boşlukla simüle edilebilir. (Makalede açık bir şekilde belirtilmemiştir, ancak PRAM'larının log-space tekdüze olması gerekir.) Kullanılan alan, giriş matrisi ve kesinlik boyutunda polilogaritmiktir . Hassasiyet , bir toplama hatasına kadar yaklaşımlar elde edeceğiniz anlamına gelir . $p$ $p$ $2^{-p}$

Bu, poli-logaritmik alanda hesaplanabilir fonksiyonların bir birleşimidir. (Çıkış bantları yalnızca yazma ve yol üzerindedir.)

C. Andrew Neff, John H. Reif: Karmaşık Kökler Probleminde Etkin Bir Algoritma. J. Karmaşıklık 12 (2): 81-115 (1996)

— Markus Bläser
kaynak

Son zamanlarda, Ta-Shma [STOC 2013], matrislerin spektral yaklaşımının kuantum günlük alanında yapılabileceğini göstermiştir. Örneğin, spektral yaklaşım (Dspace olduğu gibi rastgele jeton), ve aslında yapılabilir inanıyoruz sadece için tekrarlanan bir matris çarpım miktarları nedeniyle, rasgele paralar ile. $log^2$ $NC^2$

— Lior Eldar
kaynak