Boole formülü dengeleme

Boole formül dengeleme sorununun karmaşıklığı hakkında referanslar arıyorum . Özellikle,

Boole formüllerinin dengelenebileceği biliniyor muydu ? $\mathsf{AC^0}$
Boole formül dengelemesinin basit bir kanıtı var mı ? $\mathsf{AC^0}$

"Basit" derken, aşağıda bahsettiğimden daha basit bir kanıt demek istiyorum, özellikle Boolean formül değerlendirmesinin olmasına bağlı olmayan bir kanıt arıyorum . $\mathsf{NC^1}$

Arka fon

Burada bahsedilen tüm karmaşıklık sınıfları tek tiptir.

BFB (Boolean formül dengeleme):
Boolean formül verildiğinde , eşdeğer dengeli bir Boolean formül bulun. $\varphi$

Bu sorunun karmaşıklığıyla ilgileniyorum, özellikle problemin (hatta veya ) olduğunu gösteren basit kanıtlar . Spira Önsavı dayananlar gibi bağımsız değişken dengeleme ortak olan tek vermek gibi formül ağacına yapısal değişiklikler tekrar uygulamak . $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB \in \mathsf{NC^2}$

için bir kanıtım var , ancak kanıt basit değil ve kanıtına bağlı . $BFB \in \mathsf{AC^0}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$

$\varphi$ $\tau$ $\varphi$
$\tau$ $\varphi$ $\tau \vDash \varphi$

$BFE$ $\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

$BFB$ $\mathsf{NC^1}$

$\varphi$ $BFE$ $\varphi$ $\mathsf{AC^0}$ $BFE$ $\varphi$

⌜ φ ⌝ \mapsto ⌜ λ \vec{p} . E v a l (⌜ φ ⌝, \vec{p}) ⌝

$\ulcorner \varphi \urcorner \mapsto \ulcorner \lambda \vec{p}. Eval(\ulcorner \varphi \urcorner, \vec{p} )\urcorner$

Motivasyon

$BFB$ $\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFE \in \mathsf{NC^1}$ $\mathsf{NC^1}$ $BFB$ $\mathsf{NC^1}$

Sorular

$\mathsf{AC^0}$ $BFB\in \mathsf{AC^1}$
$BFE\in \mathsf{NC^1}$ $BFB\in\mathsf{AC^0}$

— Kaveh
kaynak

Hangi "denge" tanımını kullanıyorsunuz?

— Dana Moshkovitz

D e p t h < 10 \lg S i z e + 100

$Depth < 10\lg Size + 100$

D e p t h = O (\lg S i z e)

$Depth = O(\lg Size)$

kabul "dengeleme" defn açıkça belirtilmelidir. bu ikili ağaçlarda dengeleme kavramına benzer mi? örneğin "kendini dengeleyen ağaçlar"

— vzn

$\mathsf{NC}^1$

Temel fikir, ağacı bir parantez ifadesi olarak temsil etmek ve bunlar için dengeli ayırıcılar bulmaktır. Yaprak ayırıcıları yani yaprakların dengeli wrt sayısı olan alt ağaçlar bulduğumuza dikkat edin.

— Samid
kaynak