TCS'nin klasik matematiğe uygulamaları?

Biz TCS’de klasik matematikten (cebir, topoloji, analiz, geometri vb.) Güçlü sonuçlar ve fikirler kullanıyoruz.

Başka bir yöne gittiğinde bazı örnekler nelerdir?

İşte bildiğim bazı şeyler (ve ayrıca sorduğum sonuç türünden bir tat vermek için):

• Kübik köpükler (Guy Kindler, Ryan O'Donnell, Anup Rao ve Avi Wigderson: Küresel Küpler ve Yüksek Boyutlarda Yuvarlama, FOCS 2008)
• Geometrik Karmaşıklık Teorisi Programı. (Her ne kadar teknik olarak cebirsel geometri ve temsil teorisinin TCS'ye uygulanmasına rağmen, P / NP arayışlarında yeni kuantum grupları ve yeni tamamen cebirsel geometrik ve gösterim-teorik fikirler getirmeleri istendi.)
• Yaklaşım algoritmalarından ve yaklaşılmazlık sonuçlarından ilham alan metrik gömme çalışmaları

Özellikle , özellikle şaşırtıcı olmadıkça, TCS'nin mantığa (sonlu model teorisi, kanıt teorisi vb.) Uygulamalarını aramıyorum - TCS ile mantık arasındaki ilişki bu sorunun amaçları için çok yakın ve standart ve tarihseldir.

Genişleticiler , TCS'de büyük ölçüde geliştirilmiştir ve matematiğe derin bağlantıları ve uygulamaları vardır.

Dvir en Orada kanıtı sonlu alan Kakeya varsayım.

Bildiğim bir şirin örneği "başlıklı Michael Freedman kağıttır Matematiksel Aksiyomlarıyla olarak Karmaşıklık Sınıfları bir dolaylı verir" 3-manifoldu topoloji alanında.$P^{\sharp P}\neq NP$

Değişmezlik prensipleri yaklaşım zorluğundan motive edildi, ancak faydalı analitik teoremler. İlke: Değişkenlerin her birinin küçük etkiye sahip olduğu düşük dereceli bir işlev, girdilerin bağımsız rastgele değişkenler veya (karşılık gelen) Gauss rastgele değişkenleri ne olursa olsun hemen hemen aynı şekilde çalışır. Bu merkezi limit teoreminin bir genellemesidir; burada işlev değişkenlerin ortalamasıdır.

Düşük etkili fonksiyonların gürültü dengesi: değişmezlik ve iyimserlik E. Mossel, R. O'Donnell, K. Oleszkiewicz. Matematik Annals 171 (1), ss. 295-341 (2010). FOCS '05.

Düşük dereceli test teoremleri PCP uygulamaları tarafından motive edildi, ancak ilginç cebirsel teoremler. İlkesi: Bir sonlu alanı üzerinde -variate fonksiyonu çizgileri boyunca ortalama olarak, , düşük dereceden bir polinoma Hamming mesafe yakın olduğu hattı üzerinde , bir düşük dereceden bir polinoma Hamming mesafe yakın olduğu tüm .$n$$F$F $F^n$$F^n$

Hamming mesafesindeki belirli bir alanda düşük dereceli bir polinomla olan yakınlık, fonksiyonun, mekanın önemsiz bir kısmı üzerinde düşük dereceli bir polinomla tanımlanması anlamına gelir.

Geliştirilmiş Düşük Dereceli Test ve Uygulamaları . S. Arora ve M. Sudan. ACM STOC 1997'de.

Düşük Sabit Hata Olasılığı Düşük Dereceli Test ve NP Sabit Altında Hata Olasılıklı PCP Karakterizasyonu , R.Raz, S.Safra, 29. STOC, 1997, s. 475-484

Önyargılı olmama rağmen, TCS'den çeşitli fikirlerin Gowers normunun tersine çevrilmesi konusundaki ilerlemeye katkıda bulunduğunu söylemenin adil olduğunu düşünüyorum, örneğin Green ve Tao'nun makalesine bakın .

Hesaplanabilirlik teorisi TCS'nin bir parçası mı? Öyleyse, Csima ile elde ettiği sonuçların uygulamalarını anlatan Bob Soare tarafından Hesaplanabilirlik Teorisi ve Diferansiyel Geometri bir örnektir.

Bağlantının neden görünmediğini bilmiyorum .... Burada: http://www.people.cs.uchicago.edu/~soare/res/Geometry/geom.pdf

Çıkarıcılar, bakmak için başka bir yer. Örneğin, Barak-Kindler-Shaltiel-Sudakov-Wigderson'04'ün makalesi (diğer şeylerin yanı sıra) Ramsey grafiklerinin (ayrı bir matematikte bir süredir açık olan bir sorun) gelişmiş yapılarını verir.

De Wolf ve Drucker , anketlerinde kuantum sorgu karmaşıklığı ve eps simetrik fonksiyonların polinomlar tarafından yaklaştırılması arasındaki şaşırtıcı bağlantı hakkındaki kuantum kanıtları üzerine yaptıklarını söylüyor.$\epsilon$

Zig-Zag genişletici inşaat belirli beklenmedik özelliklere sahip grupların çeşitli ilginç örnekler oluşturmak için kullanıldı, bakınız Meshulam-Wigderson , Rozenman-Shalev-Wigderson . Yapının kendisi, saf matematik bakış açısından çok ilginçtir, çünkü önceki yapılardan daha genişleyen yapılar inşa etmek için tamamen farklı araçlar (entropi ile ilgilenen CS bakış açısıyla motive edilmiştir) kullanmıştır. (Ancak belki de en ünlü uygulama, yönlendirilmemiş bağlantı için TCS- Reingold'un logspace algoritması içindedir .)

Birkaç uygulamadan bahsedeyim:

Muhtemelen TCS'nin saf matematiğe yaptığı en önemli katkı, indirgeme sanatıdır. TCS tarafından hesaplamalı karmaşıklık ve diğer yerlerde kullanılan formun azaltılması, diğer matematik alanlarına kıyasla, TCS'de daha gelişmiş bir matematiksel paradigma / aracı temsil eder.

Olasılıklı bir kanıt kavramı: Burada olasılıksal yönteme değinmiyorum (matematiğe dayanır, ancak CS'ye birçok uygulama yapar), bunun yerine, belirli bir sayıyı iddia eden ifadeye benzer bir matematiksel ifadenin bir asıl olduğuna, “makul bir şüphenin ötesinde” bir kanıt verilecek. Matematik uygulamada henüz çok fazla uygulama olmamasına rağmen, CS'den gelen kavramsal bir atılımdır.

Moser'in Lovasz Yerel Lemması'nın yapıcı kanıtı, bilgisayar bilimi fikirlerini kullanır, Lovasz Yerel lemmasının yeni bir kanıtını verir ve insanların uzun zamandır düşündüğü bir sorunu çözer.

Batson-Spielman-Srivastava bariyer fonksiyonu metodu geometri uygulamalar ve işlevsel analiz, bir dizi olmuştur, bilgisayar biliminde ortaya çıkan ve kötümser tahmin edicileri yönteminin andıran potansiyel fonksiyonu argüman çok özgün bir formudur. Dahası, rastgele matrislerin karakteristik polinomunu analiz etmenin anlaşılmaz olduğu ve bunun yerine matris anlarına bakmaktan daha iyi olduğu geleneksel akıl bilgisine aykırıdır.

Bariyer fonksiyon yöntemi ilk olarak, spektral özelliklerini koruyan grafiklerin sparifleştiricilerin varlığını (ve deterministik polinom zamanına göre yapılandırmayı) kanıtlamak için geliştirilmiştir. Bu tür sparifleştiriciler algoritmik uygulamalar tarafından motive edildi: esasen, yaklaşık olarak hesaplanması gereken tüm algoritmalar, girdi olarak orijinal girdinin sınırlı bir versiyonunun verilmesiyle hızlandırılabilir.

Ancak, sparifleştiricilerin ötesinde, yöntem, çoğu Assaf Naor tarafından bu yazıda incelenen çok sayıda uygulamaya sahiptir . Bazı belirgin örnekler ağırlıklı genişletici grafiklerin yapı, daha az sayı, alt-boyutu ile indirgeme kimlik yaklaşık John ayrıştırmaları vardır / altuzayları , Bourgain ve Tzafriri kısıtlanmış tersinirlik ilkesinin sıkı bir versiyonu. Yukarıdaki uygulamaların tümü için, bariyer fonksiyon yöntemi esasen sıkı sınırlar verir, bir varlık kanıtına ek olarak etkin bir deterministik algoritma verir ve genellikle önceki yöntemlerden daha fazla temel kanıt sağlar (bazı tüylü hesaplamalar olmasa da).$\ell_1^n$

2013'e hızlı bir şekilde devam etti ve steroidler üzerindeki ve engelleyici polinomların makineleriyle takviye edilen bariyer fonksiyon metodu, Marcus, Srivastava ve Spielman tarafından fonksiyonel analizde Kadison-Singer problemini çözmek için kullanıldı. . Bu problem matematik fiziğindeki temel sorulardan kaynaklanmaktadır , fakat daha da ileri giderek - matematiğin her yerinde onlarca soruna eşdeğer olduğu bilinmektedir . Pek çok analistin (Kadison ve Singer dahil), sorunun olumlu bir çözüm olduğunu bile düşünmediklerini söylemedik (Cassaza ve ark.nın yaptığı muhtemel karşı örnekler üzerine yapılan araştırmalar).

Akla gelen bir örnek, Higman's Embedding Teoremi ve grup teorik sonuçlarıdır.

Higman'ın Gömme Teoremi: Bir G grubu, bir özyinelemeli sunumu ile sonlu olarak üretilir, i G, sonlu olarak sunulan bir grubun bir alt grubudur.

(Eşdeğerliğin sol kısmının hesaplanan bir bileşene sahip olduğuna dikkat edin, sağ ise tamamen grup teoriktir).

Rastlantının anlamı, "rastgele sıra" olarak neyin ifade edildiği ve ilgili sorular matematikte, olasılık teorisinde ve yüzyıllar boyunca istatistik açısından önem taşıyordu. Teorik bilgisayar bilimi (ve karmaşıklık teorisi), rastgelelik anlayışı için çok sağlam, derin ve inandırıcı görüşler sunmaktadır.

Olasılıklı yöntem matematikte başlarken , önemli bir matematiksel kavram olan derandomizasyon , temel olarak CS'de geliştirilmiştir.

Bu Moritz'in cevabı ile ilgilidir.

Otomat teorisi ve cebirlilik

Otomata teorisi cebirselliği karakterize etmek için bazı ilginç sonuçlar verdi. Referanslardan iki tanesinden söz ediyorum. Hiçbir şekilde ayrıntılı değildir.

1. cebirsel bir kapanışı$\mathbb F_q(t)$

, sonlu alanın elemanlı rasyonel fonksiyon alanı olalım , burada bazı asal ve tamsayılar için . Let üzerinde resmi güç serisi halkası .$\mathbb F_q(t)$$q$$q=p^s$$p$$s$$\mathbb F_q[[t]]$$\mathbb F_q$

Otomata teorik bir açıklama kullanarak katsayılı bir polinomun kökleri olan üzerinde cebirsel$\mathbb F_q(t)$ olan güç serileri tanımlanabilir.$\mathbb F_q(t)$

Teorem (Christol [1]). Resmi bir güç dizisi , eğer ise üzerinde cebirseldir. otomatik.$\sum_{i=0}^{\infty} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i=0}^\infty$$p$

Aslında, bu yöntem cebirsel kapanmasının açıklamasını verir . Bu alan bilinmektedir genel güç dizi formu bir iyi sıralı alt kümesi , bir cebirsel kapak içeren . Yine, cebirsel olan genelleştirilmiş güç serileri, bir otomata teorik tanımlaması kullanılarak tanımlanabilir.$\mathbb F_q(t)$

Teorem (Kedlaya [2]). Genelleştirilmiş bir güç dizisi , eğer de quasi-otomatik ise üzerinde cebirseldir .$\sum_{i\in I} a_i t^i$$\mathbb F_q(t)$$\{a_i\}_{i\in I}$$p$

2. aşkın sayılar

Otomatik diziler, aşkın sayıları tanımlamak için de kullanılır. Örneğin,

Teorem (Adamczewski ve Bugeaud [3]). bir tamsayı olalım . Let ve izin kendi baz-basamak dizisi olabilir temsili.$b$$\ge 2$$x\in\mathbb R$$\mathbf x=\{x_i\}_{i=0}^\infty$$b$

1. Eğer sonuçta periyodik ise, o zaman rasyoneldir;$\mathbf x$$x$
2. Eğer olan -otomatik (ama sonuçta periyodik olmayan), daha sonra aşkın olduğu;$\mathbf x$$b$$x$
3. Aksi takdirde , bir cebirsel irrasyonel sayıdır.$x$

Tabii ki, ilk ürün çok klasik bir sonuçtur!

Referanslar.

[1] Gilles Christol. Topluluk presque périodiques k-yeniden bağdaştırılabilir . Gelen Teorik Bilgisayar Bilimi 9 (1), s 141-145, 1979.

[2] Kiran S. Kedlaya. Sonlu otomata ve fonksiyon alanlarının cebirsel uzantıları . In Journal de Theorie des nombres de Bordeaux 18 :, s 379-420, 2006. arXiv matematik / 0410375 .

[3] Boris Adamcweski, Yann Bugeaud. Cebirsel sayıların karmaşıklığı üzerine I. Tamsayılı bazlarda açılımlar . Gelen Matematik Annals 165 (2), s 547-565., 2007

Onun yazıda Eliptik Eğriler üzerindeki düz çizgi Programları ve Burulma İlgi , Qi Cheng Burgisser en ilgilidir -conjecture (Shub ve Smale en bir varyantı Burulma Teoremi'ne ve eliptik eğri alanında Masser teoremi için -conjecture¹).$L$$\tau$

Çok kabaca, eğer conjecture doğruysa (veya daha zayıf bir versiyonuysa), bu iki teoremi de kolayca "kolayca" çıkarabilirsiniz. Orijinal kanıtları çok daha zor.$L$

¹ -conjecture bir polinom ise iddia boyutu bir sabit serbest doğrusal programı (veya aritmetik devre) sahip , tamsayı kökleri kendi sayısı en fazla olduğu bir mutlak için sabit .p τ ( 1 + τ ) c$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

IMHO TCS bir matematik dalıdır ve biraz daha genişlerdim. Algoritmik çağda yaşıyoruz, hemen hemen herkes, tüm insan faaliyetlerinde, esas olarak sezgisel tarama olan algoritmaları icat ediyor / yeniden keşfediyor. Ancak bu algoritmaların bazıları 1. iyidir; 2. derin matematiksel sorulara (gömülü) cevaplar içerir; 3. Profesyonel bir matematiksel analiz / iyileştirme / dikkat bekleyin. Kişisel deneyimim: Kanıtlama tekniği olarak bir fizik / makine öğrenimi sezgisel, yani Bethe Yaklaşımı'nın çarpıcı bir gücü. Asıl sorun, bu tür muhtemel karşılaşmalar çoğunlukla, hiç kimsenin ürünle ilgili olmayan iç görü / vahiylerle ilgilenmediği sektörde meydana gelmesidir.