Hipergrafların çizgi grafiklerini tanıma

Bir hypergraph bir çizgi grafiğidir (basit) grafiktir kenarlarını olan , iki kenarlı köşeler olarak bitişik olan da boş olmayan kesişim varsa. Bir hipergraf, kenarlarının her birinin en fazla köşesi varsa bir hipergrafıdır .$H$$G$$H$$H$$G$$r$$r$

Bir grafiktir verilen: Aşağıdaki problemin karmaşıklığı ne bir orada halen mevcut, -hypergraph şekilde bir çizgi grafiğidir ?$G$$3$$H$$G$$H$

hipergrafın çizgi grafiklerini tanımanın polinom olduğu iyi bilinmektedir ( hipergrafların çizgi grafiklerini tanımanın NP olduğu bilinmektedir (Poljak ve arkadaşları, Discrete Appl. Math. 3 (1981) 301-312). -sabit . r r ≥ $2$$r$$r \ge 4$

Not: Basit hipergraflar, yani tüm hiperjeler farklı olduğunda, problem Poljak ve ark.

Ön baskı dergisinin dergi sürümünü Skums ve ark. mhum tarafından işaret edildi; işte burada: Ayrık Matematik 309 (2009) 3500–3517 . Orada yazarlar alıntılarını şu şekilde düzelttiler:

Kişi k = 2 yerine alırsa, durum kökten değişir . Lovasz sınıfı karakterize sorununu ortaya çıkan L 3 ve bu yasak neden Alt Graflar sonlu bir listesi hiçbir karakterizasyonu (olduğunu belirtti sonlu karakterizasyonu ) [9]. Bu ispat edildiği tanıma sorunları " G ∈ L K ‘için” k ≥ 4 ’ [15], ‘ G ∈ L L 3 ’ için k ≥ 3 ve kenar kesişme grafikler tanınması problemi $k \ge 3$$k = 2$$L_3$$G \in L_k$$k \ge 4$$G \in L^l_3$$k \ge 3$$3$kenarı olmayan tek tip hipergraflar [15] NP-tamdır.

Referans 15, yukarıda sözü edilen Poljak ve ark. (1981).

Bu nedenle, hipergrafın çizgi grafiklerini tanımak (birden fazla kenara izin verilir) AÇIK BİR SORUN ve @ mhum'un cevabı bu bulguda gerçekten yardımcı oldu. Teşekkürler!$3$

Poljak ve ark. ancak buradaki özet , hipergrafların çizgi grafiklerini tanımanın 4 değil r ≥ 3 için NP-tam olduğunu göstermektedir . Ayrıca, doğrusal 3-üniform hipergrafların Edge kesişim grafiklerindeki alıntı , Skums ve ark. (pdf) durumun böyle olduğunu gösteriyor:$r$$r \geq 3$$4$

Kişi esas olarak k = 2 yerine alırsa durum değişir . Lovasz sınıfı karakterize sorununu ortaya çıkan L 3 ve bu yasak neden Alt Graflar sonlu bir listesi hiçbir karakterizasyonu (olduğunu belirtti sonlu karakterizasyonu ) [10]. K ≥ 3 [5] için tanıma problemlerinin " G ∈ L 3 " [17] ve " G ∈ L l k " nin NP-tamamlanmış olduğu kanıtlanmıştır .$k=3$$k=2$$L_3$$G \in L_3$$G \in L^l_k$$k\geq3$

Bu makaledeki referans 17, yukarıda bahsedilen Poljak ve ark. (1981). 3 üniform hypergraphs ve sınıfıdır L l 3 , linear 3-düzgün hypergraphs sınıfıdır.$L_3$$L^l_3$