Teorik bilgisayar bilimlerinde karmaşık analiz

24

Teorik bilgisayar bilimlerinde, özellik testi, iletişim karmaşıklığı, PAC öğrenme ve diğer birçok araştırma alanını kapsayan birçok gerçek analiz uygulaması vardır. Bununla birlikte, karmaşık analizlere dayanan herhangi bir sonucu düşünemiyorum ( karmaşık sayıların modelde içsel olduğu kuantum hesaplama dışında). Karmaşık analiz kullanan klasik bir TCS sonucu örneği var mı?

soft-question big-picture

1

Harika soru! Sonlu boyutlu sistemler hakkında (bildiğim kadarıyla) olma eğiliminde olan kuantum hesaplama yerine sayı teorisi ile ilgili sonuçları - örneğin, Riemann hipotezinin herhangi bir kullanımı - hariç tutmanın daha iyi olacağını düşünüyorum.

— Colin McQuillan

11

Biz maksimize edilmesi sorununa bir yaklaşım algoritması veren (TCS açısından) bir kağıt “Grothendieck sabit Krivine'in Bağlanmış daha Kesinlikle daha küçük olan,” kompleks analiz kullanmak tabi . Bakınız ttic.uchicago.edu/~yury/papers/grothendieck-krivine.pdf

\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} y_{j}

$\sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j$

x_{i}, y_{j} \in {\pm 1}

$x_i, y_j\in \{\pm 1\}$

— Yury

3

@Yury bu çok iyi bir cevap olabilir.

— Suresh Venkat

14

Barvinok'un kalıcı Polinom zaman algoritmalarının kalıcıları ve karışık ayırıcıları yaklaşık üstel bir faktör içinde yaklaşık değere yaklaştırması için karmaşık tabanlı algoritması .

Ayrıca, açık bir şekilde, karmaşık operatörler (ve bazı karmaşık analizler) kuantum hesaplamada önemlidir.

Bu kitabı da tavsiye etmeme izin verin: Eitan Bachmat tarafından yapılan pek çok konu ve başka pek çok konu ile performans analizindeki konular.

— Gil Kalai
kaynak

Bu harika bir örnek, bu sonucun farkında değildim - teşekkürler!

25

Bu tek bir sorun değil, ancak analitik kombinatorik alanın tamamı ( Flajolet ve Sedgewick kitabına bakınız ), ~~sayma~~ yapılarının birleştirici karmaşıklığının (hatta çalışma zamanlarının algoritmasının) nasıl uygun bir üretici fonksiyon yazdığını ve yapıyı analiz ederek nasıl analiz edileceğini araştırıyor karmaşık çözümler.

— Suresh Venkat
kaynak

Merhaba Suresh, 'karmaşıklığı analiz etmek' ile ne demek istiyorsun?

— Andy Drucker

2

Ah yanlış yazdım. Demek istediğim "yapıların birleştirici karmaşıklığını analiz et" - düzelteceğim.

— Suresh Venkat

15

Jon Kelner, 2004 yılında "Sınırlı cinsin grafikleri için spektral bölümlendirme, özdeğer sınırları ve çevre paketleri" adlı makalesiyle STOC En İyi Öğrenci Belgesi Ödülü'nü kazandı.

Ben sadece özetden alıntı yapacağım:

Ana teknik lemamız olarak, Laplacian'ın bu tür grafiklerin en küçük ikinci özdeğerine bağlı bir O (g / n) olduğunu kanıtlıyoruz ve bunun sıkı olduğunu göstererek Spielman ve Teng'in bir tahminini çözüyoruz. Bu lemma esasen doğada birleştirici olmakla birlikte, kanıtı sürekli matematiğe dayanıyor, daire paketleme teorisi ve kompakt Riemann yüzeylerinin geometrisi üzerine çizim yapıyor.

"Geleneksel" grafik ayırıcı sorunlarına saldırmak için karmaşık analizin (ve diğer "sürekli" matematiğin) kullanılması unutulmazdı ve araştırmamla tamamen ilgisi olmasa da, bu yazının kafamın içine sıkışmasına sebep olan ana sebep.

— Mugizi Rwebangira
kaynak

8

Sanırım doğrudan ispatta kullanılan karmaşık analizlerle daha fazla ilgileniyor olabilirsiniz. Ancak, şu anda katılıyorum bir lisans düzeyinde Algoritmalar sınıfından iki örnek:

a) Hızlı Fourier Dönüşümü, örneğin polinom çarpımında kullanılır. Uygulama, modulo aritmetik veya kayan nokta (ve bazı aritmetik analizler) ile yapılabilse de, ispat en iyi şekilde karmaşık sayılar ve birliğin kökleri açısından anlaşılmalıdır. Konuyu çözmedim, ancak FFT'nin çok çeşitli uygulamaları olduğunu biliyorum.

b) Genel olarak, RAM modelinin karmaşık sayıları sabit bir zamanda (gerçek ve hayali parçaların hala sonlu bir kesinliğe sahip olmaları) ele alma kabiliyetiyle donatılması, birinin problemleri akıllıca kodlamasını ve bir çözüm ortaya çıkarabilecek karmaşık sayıların özelliklerini kullanmasını sağlar (bkz. Ayrıca bunun neden daha hızlı olmanıza izin vermediğine de dikkat edin).

— chazisop
kaynak

İkinci gözlem örneğiniz var mı? Sabit RAM işlemleriyle standart RAM'e "karmaşık O (log n) -bit tamsayı" sınıfı eklemek çok önemlidir. Veya "daha hızlı" derken, "2 faktörü ile daha hızlı" mı demek istiyorsunuz?

— Jeffε

Bu, dersin bir alıştırmasıydı: "Her bir çarpma, bölme, toplama ve çıkarma için birim maliyetle karmaşık sayılarla hesaplayabileceğiniz genişletilmiş bir RAM ile uğraştığınızı varsayalım. Ayrıca, mutlak değeri | c | birim zamanda karmaşık numarası c. Ayrıca karmaşık sabitleri, 0, 1, ve i. bu sayı, n pozitif bir tamsayı n verilen bu kadar uzun bir RAM göster “bilir”! de hesaplanabilir

süre. Çözüm, bunun standart RAM modelinden daha hızlı olduğunu bildiğim kadarıyla polinom çarpımını kullanıyor.

O (\sqrt{n} \log^{2} n)

$O( \sqrt{n} \log ^{2} n)$

— chazisop

6

Önerilen algoritma, sabit zamanlı sonsuz hassasiyetli gerçek aritmetik gerektirir. (Sen olamaz bir hesaplamak

-bit tamsayı içinde

olan bir makine kullanılarak zaman

bile çıktı yazmak için zaman olmazdı çünkü -bit deyişle!) Soru, gerçek RAM modeline kare kökler eklemenizi istiyor , karmaşık sayıları değil.

Ω (n \log n)

$\Omega(n\log n)$

o (n)

$o(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Jeffε

Yorum için teşekkürler, çok aydınlatıcı. Sanırım cevabımı karmaşık sayılarla bir sorunu akıllıca kodlama kısmına, yani başka türlü özleyeceğiniz bir çözümü görmek için güncellemeliyim.

— chazisop,

6

Belki de bu uygulama bir miktar TCS ve Disk matematiği arasındadır, ancak Petr Savicky'nin (http://www2.cs.cas.cz/cz/~savicky/ kağıtları / symmetric.ps). Teoremler yalnızca Boolean fonksiyonlarıyla ilgilidir, ancak ispatlardan biri karmaşık sayıları kullanır.

— Magnus Bul
kaynak

5

“ Yaklaşan Doğrusal Eşik Değeri Tahmin Ediyor ” yazımızda Cauchy'nin Rezidü Teoremi karmaşık analizden ana teknik araç olarak kullanılmıştır .

— MCH
kaynak

5

Koebe-Andreev-Thurston daire paketleme teoremi, Riemann haritalama teoremine dayanır ve çeşitli algoritmik yönleri vardır. İncelemek için, Lipton-Tarjan ayırıcı teoreminin düzlemsel grafikler için bir kanıtı var.

— Gil Kalai
kaynak

5

Fırından taze çıktı:

Kayıplı Nüfus Kurtarılmasında Polinom Zaman Algoritması By: Ankur Moitra, Michael Saks

Makaleden alıntı: “Burada, karmaşık analizden araçlar kullanarak önceki bölümde belirtilen belirsizlik ilkesini ispatlayacağız. Belki de karmaşık düzlemde holomorfik fonksiyonların büyüme hızını anlamada en faydalı teoremlerden biri Hadamard'ın Üç Çember Teoremidir. .."

— Gil Kalai
kaynak

σ

$\sigma$

p (0) - ϵ ‖ p ‖_{1}

$p(0) - \epsilon \|p\|_1$

n

$n$

p

$p$

‖ q ‖_{1} \leq 1

$\|q\|_1 \leq 1$

q

$q$

p

$p$

‖ \cdot ‖_{1}

$\|\cdot\|_1$ Katsayıların abs değerinin toplamını belirtir.

— arnab

‖ p ‖_{1} \geq ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$\|p\|_1 \geq \|p\|_{sup}^{D_1}$

D_{1}

$D_1$

p (0) - ‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}}

$p(0) - \|p\|_{sup}^{D_1}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$ . Koordinat dönüşümü yaparak, kendimizi Üç Çember teoreminin ayarında buluruz: iki eşmerkezli çemberdeki noktalara holomorfik bir fonksiyon bağlanır, fonksiyonu herhangi bir orta yarıçap çemberine bağlar.

— arnab

‖ p ‖_{s u p}^{D_{1}} \geq | p (0) |^{Ω (1)}

$\|p\|_{sup}^{D_1} \geq |p(0)|^{\Omega(1)}$

p

$p$

1

$1$

D_{1}

$D_1$

5

$\ell_p$ $0 < p < 2$

Daniel M. Kane, Jelani Nelson, David P. Woodruff. Eskiz Çizimi ve Akış Küçük Normların Tam Uzay Karmaşıklığı Üzerine. SODA 2010.

Açıkça karmaşık analizden bahsetmeyen bir kanıt yazarken (web sayfamdaki o kağıt için "notlar" bölümündeki ilk madde işaretine bakın) yazabilirsiniz, ancak bu kanıtın bile kapakların altında gizlenen karmaşık bir analizi vardır.

— Jelani Nelson
kaynak

4

Naor, Regev ve Vidick tarafından yayınlanan son bir makalede karmaşık sayılar ve analizler kullanılmaktadır, bu da NP zorlu optimizasyon problemleri için yaklaşıklık algoritmalarına yol açmaktadır: http://arxiv.org/abs/1210.7656

— Clement C.
kaynak

Birliğin rastgele köklerinden yararlanan bir başka makale ise Daniel M. Kane, Kurt Mehlhorn, Thomas Sauerwald ve He Sun. Veri Akışlarında Rasgele Altyazıları Sayma. ICALP 2012.

— Jelani Nelson,

3

$n + O(n/\sqrt{k})$ $k$ $n \times n$ $n!/n^n$ Laurent ve Schrijver tarafından MAA Aylık). Karmaşık uçak için gerçek çizgiyi terk etmek Gurvits'in kanıtı için çok önemli görünüyor ve sorunları çok basitleştiriyor.

— Sasho Nikolov
kaynak

0

$z \leftarrow z^2 + c$

[1] Hesaplama, geometri ve dinamik sistemlerde erişilemezlik ve kararsızlık Asaki Saito, Kunihiko Kaneko

[2] Reel sayılar üzerinde bir hesaplama ve karmaşıklık teorisi, Lenore Blum, 1990

— vzn
kaynak

0

$\mathbb{C}$

— Reb.Cabin
kaynak