Pallant grafiklerinde garip delikler bulma

Paley grafikler P _q olan tepe-grubu ile verilir olanlardır sonlu alan ana güçlerin q≡1 (mod 4) için GF (q), ve iki köşe bitişik olduğu takdirde bir farklılık sadece ² bazıları için bir ∈ GF (q). Q'nun asal olması durumunda, GF (q) sonlu alanı sadece modulo q tamsayıları kümesidir.

Yakın tarihli bir makalede Maistrelli ve Penman, mükemmel olan tek Paley grafiğinin (en büyük klibinin boyutuna eşit kromatik bir sayıya sahip olan) dokuz köşedeki grafik olduğunu gösteriyor . Bu, özellikle, hiçbir Paley grafiği P _q'nun q üssü için mükemmel olmadığını ima eder .

Güçlü mükemmel grafik teoremi bir grafiktir G mükemmel olduğunu ileri sürer ve eğer G ve bunun tamamlayıcısı yoksun sadece tek delikler (tek uzunlukta bir döngüdür indüklenen bir alt grafiğini ve boyutunu en az 5.) birinci düzenin Paley grafiklerdir kendini tamamlayıcı ve kusurlu; bu nedenle garip delikler içermelidir.

Soru. Q≡1 (mod 4) asal, P 'bir tek delik bulmak için bir poli (q) algoritması vardır _q ? Bir polilog (q) algoritması var mı? Rasgelelik ve popüler sayı-teorik varsayımlara izin verilir.

Bilinen bir poli (q) algoritması olduğuna inanıyorum. Chudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour ve Vušković'in algoritma hakkındaki anlayışım, "Berge Grafiklerini Tanıma", Combinatorica 2005 , polinom zamanında herhangi bir mükemmel olmayan grafikte tek bir delik veya tek bir antihole bulmasıdır. Yazarlar makalelerinin 2. sayfasında, kendilerine sahip grafiklerde garip delikler bulma sorununun açık kaldığını yazıyorlar, çünkü algoritmalarının 1. ve 3. adımları delik buluyor, ancak 2. adım bunun yerine bir anti-delik bulabilir. Bununla birlikte, Paley grafikleri söz konusu olduğunda, bir antihole bulursanız, bunun yerine tüm köşeleri tek bir deliğe dönüştürmek için bir çözümle çarpmayın.

Alternatif olarak, Rado grafiğine benzer şekilde, her k için, N veya daha fazla köşedeki Paley grafikleri uzatma özelliğine sahip olacak şekilde bir N olmalıdır: k köşelerinden daha az herhangi bir alt küme ve alt kümenin herhangi bir 2-rengi, bir renk sınıfındaki her tepe noktasına bitişik ve diğer renk sınıfındaki her tepe noktasına bitişik olmayan başka bir tepe noktası vardır. Eğer öyleyse, k = 5 için, adım başına polinom zamanında açgözlülükle 5 delikli tek bir delik oluşturabilirsiniz. Belki bu yön bir poli (log (q)) algoritması için umutludur? Çalışırsa, en azından kısa tuhaf delikler olduğunu, bunları hızlı bir şekilde bulmak için gerekli bir önkoşul olduğunu gösterecektir.

Aslında, aşağıdakiler bir poli (log (q)) algoritması olsaydı beni şaşırtmaz: q sabit bir sabitten daha küçükse, cevaba bakın, aksi takdirde sayılar arasında sırayla arayarak garip bir 5 delik oluşturun 0, 1, 2, 3, ... kısmi 5 deliğin bir parçası olarak eklenebilen köşeler için. Ama belki poli (log (q)) zamanında çalıştığını kanıtlamak, bazı derin sayı teorisi gerektirecektir.

Chung, Graham ve Wilson, "Yarı rastgele grafikler", Combinatorica 1989 sonuçları ile, aşağıdaki randomize algoritma problemi q asal olduğunda beklenen sayıda denemede çözer: q yeterince küçükse, cevaba bakın, aksi takdirde, beş köşeli rastgele bir set seçin, tek bir delik oluşturup oluşturmadıklarını kontrol edin ve varsa iade edin. Ama q'nun asal değil asal bir güç olduğu zaman işe yarayıp yaramadığını söylemezler, bu durumda belki daha dikkatli olmanız gerekir.