Seyrek Walsh-Hadamard Dönüşümü

Walsh-Hadamard (WHT) dönüşümü Fourier bir genelleme dönüşümü ve boyutu gerçek veya karmaşık sayılar bir vektör üzerine bir dikgen dönüştürme olan . Dönüşüm kuantum hesaplamada popülerdir, ancak yakın zamanda Johnson-Lindenstrauss Lemma'nın kanıtında kullanılmak üzere yüksek boyutlu vektörlerin rastgele projeksiyonları için bir tür ön koşul olarak incelenmiştir. Ana özelliği, kare matris olmasına rağmen , FFT benzeri bir yöntemle ( yerine zamanında bir vektöre uygulanabilmesidir . $d = 2^m$ $d\times d$ $O(d \log d)$ $d^2$

Giriş vektörünün seyrek olduğunu varsayalım : sadece birkaç sıfır olmayan girişi var ( ). Zaman içinde WHT hesaplamak için herhangi bir şekilde var bu şekilde ve için ? $r \ll d$ $f(r,d)$ $f(d,d) = O(d \log d)$ $f(r,d) = o(d \log d)$ $r = o(d)$

Not: Bu gereksinimler den daha hızlı çalışan bir şey olmasını istediğim fikrini resmileştirmenin bir yoludur $d \log d$ küçük için . $r$

ds.algorithms linear-algebra

— Suresh Venkat
kaynak

Aşağıdaki iki kolay gözlemin farkında olduğunuzdan eminim, ama yine de bunları diğer okuyucular için yazacağım: (1) Basit bir çarpma O (rd) süresi verir. Sadece r = o (log d) olduğunda O (d log d) 'den daha iyidir. (2) Giriş vektörü seyrek olsa bile, çıkış genel olarak seyrek değildir. Bu, f (r, d) 'nin r = 1 için bile o (d) olmasını umamayacağımız anlamına gelir.

— Tsuyoshi Ito

Fourier dönüşümü için aynı sorunun cevabının ne olduğunu biliyor musunuz?

— Robin Kothari

Tsuyoshi: evet, (1) 'in farkındayım ve aslında buna ihtiyaç duyan uygulamalar için yapılan şey bu. (2) 'ye gelince, bu da doğrudur. Robin, bu iyi bir nokta - FT için hiçbir şey bilmiyorum ve aslında bu kazı yapmaya başlamak için iyi bir yer olabilir.

— Suresh Venkat

Görünen o ki wikipedia'yı kazmış olmalıydım. FFT sayfasında seyrek hesaplama problemi ile ilgili olabilecek iki makaleden bahsedilmektedir.

— Suresh Venkat

WHT satırlarını için x tamsayısı ile dizinleyin . Yani x, log d bitlerine sahiptir. Benzer şekilde sütunları dizine ekleyin. (X, y) konumu üs uzunluğu günlük d nokta ürünüdür. R'nin 2 gücü olduğunu varsayalım, gerekirse yuvarlanır. İlk günlük r bitlerinin değişmesine izin vererek ve diğer günlük (d / r) bitlerini d / r yollarının her birinde sabitleyerek dxr matrisini rxr bloklarına bölün. Bu rxr bloğu, bazı sütunlar eksik, tekrarlanan veya reddedilmiş olması dışında, r boyutunda daha küçük bir WHT matrisidir. Her durumda, vektörü önceden önceden işleyin, sonra r günlüğü r'de rxr WHT yapın, sonra toplam süre d günlüğü r için d / r kez tekrarlayın. $0 \le x \lt d$ $(-1)^{\langle x,y \rangle}$

Misal:

d = 4.

WHT H:

++++
+-+-
++--
+--+

Rasgele sütun kümesi 00 ve 10'dur (bundan en solda ve ikiden fazladır):

++
++
+-
+-

Satır blokları

++
++

--
--

$(a,b)^T$ $(a+b,0)^T$

++
+-

$(a,b)^T$ $(-a-b,0)^T$

++
+-

— Martin Strauss
kaynak