Genişletici grafiklerde NP zor problemler?

2006 YILI GENİŞLETİCİ GRAFİKLER sunumunda - HERHANGİ BİR Gizem Var Mı? , Nati Linial şu açık problemi sundu:

Grafikleri genişletmek için kısıtlandığında, grafikteki hangi zor hesaplama sorunu zor kalır? $NP$

O zamandan beri, -hard problemi için bu sonucu kanıtlamak için herhangi bir ilerleme kaydedildi mi? $NP$

cc.complexity-theory np-hardness expanders

Birisi belki de bu sorunun neden ilginç olduğunu açıklayabilir mi? Grafikleri genişletmekle kısıtlandığında NP zor problemleri kolaylaştıran herhangi bir örneğimiz var mı?

— Jukka Suomela

@Jukka: Genişleticiler, küçük

için

düzenli olabilir (örneğin

), ancak küçük

için maksimum derece

grafik sınıfında bazı NP zor problemleri kolaydır (örneğin

için GRAFİK RENKLENDİRME ).

d

$d$

d

$d$

d = 3

$d=3$

d

$d$

d

$d$

d < 4

$d<4$

— András Salamon

@ András: Tabii, ama bu genişleme özellikleriyle gerçekten ilgili değil. Daha soruyorum: Biz zor olan sorunları örnekleri var mı

-Normal grafikler ama kolay üzerinde

-Normal genişletici grafiklerinin?

d

$d$

d

$d$

— Jukka Suomela

@Jukka: Kısıtlama grafiği bir genişletici olduğunda benzersiz oyunların polinom zaman yaklaşım algoritmalarına sahip olduğu gösterilmiştir [Arora-Khot-Kolla-Steurer-Tulsiani-Vishnoi STOC '08]. Bunun genel grafikler için geçerli olduğu bilinmemektedir ve eğer UGC doğruysa, aslında polinom zaman algoritmaları yoktur. Bunu Türkistan sorununun motivasyonu olarak aldım.

— arnab

@Jukka, motivasyonum genişleticilerin rastgele özellikleri ile problemlerin hesaplama sertliği arasındaki ilişkiyi anlamak. Örneğin, bağımsız kümenin genişleticilerde kolay olmasını beklemiyorum.

— Mohammad Al-Turkistany

Yanıtlar:

"Dengesiz genişleticiler" Bu sorunun amacıyla genişleticiler (dengesiz bir genleştirici olarak sayarsak: bir bipartit grafiktir , bu şekilde her bir alt-gruplar için , , fraksiyonu arasındaki kenarlar ve ile ilgili $G=(A,B,E)$ $A'\subseteq A$ $B'\subseteq B$ $A'$ $B'$ ${|A'||B'|}/{|A||B|}$ ), sonra evet, genişleticilerle ilgili birçok sorunun (örneğin, kısıtlama memnuniyeti problemlerinin) NP'yi bulmak zordur.

Özellikle, iki sorgu, düşük hata, PCP Teoremi'nin [2008'de Ran Raz ile birlikte) kanıtı genişletici grafikler oluşturur.

— Dana Moshkovitz
kaynak

Son satırınızda, kağıdınız dengesiz genişleticiler yaptığını mı kastediyorsunuz, çünkü o zaman bu soruya bir cevabınız olabilir: cstheory.stackexchange.com/questions/592/…

— Suresh Venkat

Suresh: evet, kağıt dengesiz genişleticiler / örnekleyiciler / ekstraktörler inşa eder, ancak bunların bilinen yapılarından daha iyi değildir.

— Dana Moshkovitz

Pek çok kesin problemin (ve belki de güçlü yaklaşım problemlerinin) genişleticilerde NP açısından zor olduğunu göstermek kolay olabilir. Fikir, eğer üzerinde rasgele bir sabit derece grafiği alırsanız , $G$ $n$ köşe ve başka genişletici eklemek üzerinde ayrık köşe ve arasında bir eşleştirme koymak ve , o zaman bir genişletici olsun. Bunun nedeni, köşelerin yarısından daha az olan herhangi bir kümenin, dışındaki eşleşen kenarların sabit bir kısmına sahip olması veya ile kesişmesinin en fazla kısmına sahip olmasıdır. $H$ $n$ $G$ $H$ $H$ $0.51$ $H$ köşelerinin .

Seçebilirsiniz yana keyfi daki NP problemi için en uygun çözümü bilebiliriz (rastgele grafiği almak demek) alabilirsiniz kombine grafik için bir çözüm verilen o, ve dolayısıyla umut (sorununa bağlı olarak) olabilir için en azından yaklaşık bir çözelti . Ama bunu somut bir sorun için doğrulamadım. $H$ $H$ $G$

Tabii ki, yukarıda belirtildiği gibi, böyle hileler yapamayacağınız ve özellikle algoritmaların genişleticiler için bilindiği ve genel durumda bilinmediği doğal problemler (en önemlisi benzersiz oyunlar) vardır. Ayrıca, genel olarak NP zor olan ancak genişleticiler için kolay olan bir problemin bazı örneklerini ortaya çıkarabilmelidir (örneğin, grafiklerde keyfi NP zor problemi alınmalı ve spektral boşluklu tüm örneklerin EVET ...). $1/\log n$

— Boaz Barak
kaynak