Kilise Teoremi ve Gödel'in Eksikliği Teoremleri

Son zamanlarda, çeşitli mantıkçılar ve matematikçiler tarafından hesaplanabilirlikle ilgili çığır açan çalışmaların bazı fikirlerini ve tarihlerini okudum. Bireysel kavramlar benim için oldukça açık olsa da, orada birbirleriyle olan ilişkileri ve hepsinin birbirleriyle bağlantılı oldukları soyut seviyeleri kavramaya çalışıyorum.

Church teoreminin (ya da daha doğrusu, Hilbert'in Entscheidungsproblem'in Alonzo Kilisesi ve Alan Turing'in bağımsız ispatları ) genel olarak resmi bir sistemde verilen bir matematiksel ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu hesaplayamadığımızı kanıtlıyoruz. Anladığım kadarıyla, Kilise Turing tezi, Kilise'nin lambda matematiği ve Turing makineleri arasındaki eşdeğerliğin (izomorfizm) oldukça açık bir tanımını sunar, dolayısıyla hesaplanabilirlik için etkin bir şekilde birleşik bir modelimiz vardır. (Not: Bildiğim kadarıyla, Turing'in kanıtı durma sorununun çözülemez olduğu gerçeğini kullanıyor. Yanlış yaparsam düzeltin.)

Şimdi, Gödel'in ilk eksiklik teoremi, yeterli bir aritmetik güce sahip tutarlı bir formal sistemdeki tüm ifadelerin bu sistem içerisinde kanıtlanamayacağını veya kanıtlanamayacağını (karar verilmediğini) belirtiyor. Birçok yönden, bu bana bana, kilise teoremleri ile tamamen aynı şeyi söylüyor gibi gözüküyor, lambda matematiği ve Torna makinelerinin, her ikisinin de etkili bir şekilde biçimsel sistemler olduğu düşünülüyor!

Ancak bu benim bütüncül yorumum ve birinin detaylara ışık tutabileceğini umuyordum. Bu iki teorem etkili bir şekilde eşdeğer midir? Dikkat edilmesi gereken herhangi bir incelik var mı? Bu teoriler temelde aynı evrensel gerçeğe farklı şekillerde bakıyorsa, neden bu kadar farklı açılardan yaklaşıldı? (Godel'in ispatı ile Kilisenin ispatı arasında az çok 6 yıl vardı). Son olarak, biçimsel bir sistemde provability kavramının (ispat hesabı) özyineleme teorisindeki hesaplanabilirlik kavramı ile aynı olduğunu söyleyebilir miyiz ?

Öncelikle, Kleene'nin "Metamathematics" ini bu konular hakkında iyi bir kitap olarak okumanı öneririm. Odifreddi'nin "Klasik Özyineleme Teorisi" nin I. bölümünün ilk iki bölümü de bu kavramlar arasındaki ilişkiyi anlamada yardımcı olabilir.

Church teoreminin (ya da daha doğrusu, Hilbert'in Entscheidungsproblem'in Alonzo Kilisesi ve Alan Turing'in bağımsız ispatları) genel olarak resmi bir sistemde verilen bir matematiksel ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu hesaplayamadığımızı kanıtlıyoruz.

Bence Church teoremine birinci dereceden mantığın teorem kümesinin karar verilemez olduğunu atıfta bulunuyorsunuz. Dilin birinci derece olduğuna dikkat etmek önemlidir.

Anladığım kadarıyla, Kilise Turing tezi, Kilise'nin lambda matematiği ve Turing makineleri arasındaki eşdeğerliğin (izomorfizm) oldukça açık bir tanımını sunar, dolayısıyla hesaplanabilirlik için etkin bir şekilde birleşik bir modelimiz vardır.

Hayır. Eğer lambda hesaplanabilirliği ve Turing hesaplanabilirliği, Kleene teoremi ise denklik . Bu bir tez değil. Kilise tezi destekleyen kanıt olarak kabul edilir.

Not: Bildiğim kadarıyla, Turing'in kanıtı durma sorununun çözülemez olduğu gerçeğini kullanıyor. Yanlışsam düzelt.

Şimdi, Gödel'in ilk eksiklik teoremi, tutarlı bir resmi sistemdeki tüm ifadelerin bu sistem içinde kanıtlanamayacağını belirtiyor. Birçok yönden, bu bana bana, kilise teoremleri ile tamamen aynı şeyi söylüyor gibi gözüküyor, lambda matematiği ve Torna makinelerinin, her ikisinin de etkili bir şekilde biçimsel sistemler olduğu düşünülüyor!

$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

Bu aynı şeyi ifade etmiyor. Teorinin teoremleri hakkında karar verilemez olduğu hakkında hiçbir şey söylemez.

Ancak bu benim bütüncül yorumum ve birinin detaylara ışık tutabileceğini umuyordum. Bu iki teorem etkili bir şekilde eşdeğer midir? Dikkat edilmesi gereken herhangi bir incelik var mı? Bu teoriler temelde aynı evrensel gerçeğe farklı şekillerde bakıyorsa, neden bu kadar farklı açılardan yaklaşıldı? (Godel'in ispatı ile Kilisenin ispatı arasında az çok 6 yıl vardı)

Yıllar boyunca Godel'in teoremlerinin (ve benzer teoremlerin) kötüye kullanımı olmuştur. Yorumlamada çok dikkatli olunmalıdır. Gördüğüm kadarıyla, suiistimaller genellikle teoremde bir durumdan bahsetmeyi unutmayı veya teoremleri diğer bazı inançlar ile birleştirmeyi unuturlar. Dikkatli bir bakış, tez teoremlerinin ilişkili olmasına rağmen eşdeğer olmadığını göstermektedir.

Son olarak, biçimsel bir sistemde provability kavramının (ispat hesabı) özyineleme teorisindeki hesaplanabilirlik kavramı ile aynı olduğunu söyleyebilir miyiz?

"Aynı" derken ne demek istediğini anlamıyorum. Kuşkusuz hesaplanabilirlik ile üretilebilirlik arasında birçok ilişki var. Bunların özdeşliği ile ne demek istediğinizi netleştirirseniz daha yararlı bir yorum yapabilirim.

güncelleştirme

$L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

$Thm(T)$$Thm(T)$

Formal sistemde provabilite ve hesaplanabilirlik arasındaki ilişki. Birincisi: Sistem etkiliyse, içinde türetilebilir ifade kümesi yeniden olur ve sistem özel bir gramer durumudur. Dilbilgileri, Turing makinesi hesaplanabilirliğine eşdeğer olan hesaplanabilir kavramını tanımlamanın başka bir yoludur.

Resmi bir sistemde ispatlanabilirlik kavramının (ispat hesabı) özyineleme teorisinde hesaplanabilirlik kavramı ile aynı olduğunu söyleyebilir miyiz? (Turing makineleri / lambda hesabı)?

Bunlar çok benzer fakat aynı değil çünkü ispat hesabındaki bazı adımlar hesaplanamayan işlemleri temsil ediyor olabilir.

$ZFC$$\wp(N)$

Benzer şekilde, Gödel'in Tamlık Teoremi, birinci dereceden mantıktaki geçerli herhangi bir formülün bir kanıtı olduğunu söyler, ancak Trakhtenbrot Teoremi, sonlu modeller üzerinden, birinci dereceden formüllerin geçerliliğinin kesin olmadığını söyler.

Bu yüzden sonlu kanıtlar, mutlaka hesaplanabilir işlemlere karşılık gelmez.

İstediğiniz şey tam olarak bu olmasa da, aynı damarda ve umarım siz (ve sorunuzun diğer okuyucuları) ilginizi çekecektir. Curry-Howard yazışmalarını kesinlikle okumalısınız , ki program kategorisinin özel bir anlamda yapıcı deliller kategorisine izomorfik olduğunu söylüyor . (Bu, diğer cevaplardan farklı bir düzeyde kanıtları ve hesaplanabilirliği tartışmaktadır.)

Sorunuza kısaca bakış açınızdan cevap vermeye çalışacağım; Ayrıca iki teoremi farklı bir şekilde ilişkilendirmeye çalışıyorum.

Gödel'in ilk eksiklik teoremi, yeterli aritmetik güce sahip tutarlı bir biçimsel sistemde, onun ya da onun olumsuzlanmasının bir kanıtı olmadığı şeklinde bir P ifadesi olduğunu belirtir. Bu, teorinin teoremleri için bir karar algoritması olmadığı anlamına gelmez; bu, P'nin ya da P'nin de teorem olmadığını söyler. Church-Turing'in teorem sonucu böyle bir algoritmanın olmadığını söylüyor. Bu aynı zamanda Kaveh tarafından verilen cevabın özüdür, umarım daha net bir şekilde açıklamalıdır.

Şimdi Church-Turing teoreminin Gödel teoremini ima ettiğini kanıtlamaya çalışacağım, lütfen nerede ve yanılıyorsam bana açıkla. Teoremlerin kümesi Thm kısmen karar verilebilir ve R'nin bunu tanıyan bir program olduğunu varsayalım (yani, giriş Thm ise, devam etmeden devam ederse "evet" ile durur). Bunu yeni bir algoritma oluşturmak için kullanalım: İfadenin uygun olup olmadığını görmek için bir Q ifadesi verildiğinde, R'yi Q üzerinde paralel olarak çalıştırın, Q'yu değil, yürütmelerini birleştirerek ve ilk önce durduğunda durun ve "Hayır" “Q değil”, aksi takdirde “Evet”; bu hesaplanabilir bir algoritma verir. Tüm ifadelerin kanıtlanabileceği ya da onaylanmadığı yönündeki çelişkiyle, bu algoritma Entscheidungsproblem'i çözecektir, ama bu saçma! Bu nedenle, bir açıklama olmalı '