Daha güçlü üniformlaştırma kavramları?

16

Her zaman gerçekten anlamadığımın farkına vardığım bir boşluk, devre karmaşıklığının düzgün olmayan versiyonu temsil ettiği ve Turing makinelerinin tek tip olduğu, üniform olmayan ve üniform hesaplama karmaşıklığı arasındadır. "Tekdüzen" algoritma sınıfını sınırlamak için bir yol olduğunu, örneğin n değişkenleri ile n + 1 değişkenleri sorunu karşılaştırıldığında tamamen farklı bir devre izin vermemek için bir yol olduğunu varsayalım.

Sorularım: 1) Sadece devreler açısından tekdüzeliğin bir açıklaması var ve 2) Daha güçlü bir tekdüzelik biçimi ile gelmek ve böylece hangi etkili (veya kısıtlanmış) algoritmaların P?

Son açıklama: 2. sorudaki amacım, "pratik olarak" polinom algoritmaları sınıfıyla aynı güce sahip olan sınırlı bir algoritma sınıfı hakkındadır.

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Gil Kalai
kaynak

"Pratik olarak aynı güce sahip" anlamına gelebilir misiniz?

— MS Dousti

Yani pratikte karşılaştığımız P'deki tüm algoritmalar bu (varsayımsal) kısıtlı sınıftadır. Bu yüzden AC_0 veya NC ^ i gibi belirli polinom tipi algoritmayı atladığı bilinen (veya tahmin edilen) sınıfları kastettiğim değilim.

— Gil Kalai

2

Soru 2 için, polinom büyüklüğünün LOGSPACE-tekdüze devreleri tarafından hesaplanan fonksiyon sınıfı P'dir. (Ve düzgünlüğü düzgün bir şekilde tanımlarsanız, LOGSPACE'den daha küçük bazı karmaşıklık sınıflarında bile P alırsınız.) genellikle polinom-zaman algoritmalarının gücünü azaltır.

— Peter Shor

8

Sanırım ilk sorunun cevabı negatif: Bir devrenin sabit sayıda girişi var ve bu nedenle IMO, sadece tek bir devre değil, sadece devrelerin "ailelerinden" bahsedebiliriz.

İkinci sorunuzla ilgili olarak, açıklaması bir Turing makinesi tarafından oluşturulan "tek tip devre aileleri" olduğunu not edebilirsiniz. Yani, üniform bir devre ailesi olsun ve bir Turing makinesi olsun. Sonra, her , , burada $\{C_n\}$ $M$ $n$ $[C_n] = M(1^n)$ $[C_n]$ açıklamasını gösterir . $C_n$

P'nin altında, tek tip devre aileleri tarafından tanımlanan birkaç karmaşıklık sınıfı vardır. Örneğin:

,polinom sayısı ve derinliğiolantek tipboolean devreleri ilekarar verilebilen karar problemleri sınıfıdır. $\mathbf{NC}^i$ $O(\log^i n)$

— MS Dousti
kaynak

7

Yukarıdaki Sadeq'in cevabına ek olarak, biri P'de bulunan devre sınıflarına bakıldığında, aynı zamanda daha kısıtlayıcı tekdüzelik kavramlarına da bakmak isteyebilirsiniz.

En basit ve en çok iyi bilinen bir kavram devresi üreten bir (kararlı) Turing makinesi K olduğu gerekliliktir p-düzgünlüğü, bir $C_n$ zaman poli (n) (aynı zamanda bu Suresh görüşmeler) içerisinde. Homojenliğin daha kısıtlayıcı versiyonları M'nin gücünü daha da sınırlamaya çalışır. Örneğin, M'nin artık O (log (n)) uzayında çalışması için gerekli olduğu Logspace-uniformity özelliği de vardır.

Bildiğim en kısıtlayıcı kavram, küçük devre sınıfları için kullanılan DLOGTIME-tekdüzeliktir. Burada (şimdi rasgele erişimli) makine M'nin sadece zamanı O (log n) vardır ve bu nedenle muhtemelen tüm devrenin açıklamasını yazamaz. Verilen koşul, i ve n verildiğinde, M'nin O zamanındaki (log n) devrenin açıklamasının i bit bitini yazabilmesidir.

Daha fazla bilgi için aşağıdaki makaleye bakınız: David A. Mix Barrington, Neil Immerman, Howard Straubing: NC¹ içinde Tekdüzelik Üzerine. J. Comput. Sist. Sci. 41 (3): 274-306 (1990).

— Srikanth
kaynak

1

Makaleye

— Suresh Venkat

M, devrenin açıklamasının i-bit bitini O (log n) olarak yazacaksa, devre O (n) boyutundaysa, makinenin tüm devre O (n log n)?

— M. Alaggan

1

Eşdeğer görünmüyor. Gösterdiğiniz şey, yukarıdaki (Barrington ve ark.) Tekdüzelik kavramının en azından önerdiğiniz tekdüzelik kavramı kadar güçlü olduğudur. Tersi belli değil. Özellikle, aşağıdakilerin doğru olup olmadığı açık değildir:

boyutunda bir devre

zamanında üretilebilen bir devreler ailesi verildiğinde,

verilen bir TM ve

, üretir

inci biti

saat içinde

. Aslında bunun doğru olduğunu düşünmüyorum.

O (n)

$O(n)$

O (n \log n)

$O(n\log n)$

i

$i$

n

$n$

i

$i$

C_{n}

$C_n$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Srikanth

Bir karşı örnek,

ve

verildiğinde ,

aldığı son bit dışında,

de

Biti üreten bir TM olacağını kabul ediyorum . İpucu için teşekkürler :)

i

$i$

n

$n$

i

$i$

O (1)

$O(1)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— M. Alaggan

Mesele şu ki, X-düzenli devre aileleri farklı X için aynı aileleri vermektedir, ancak X-uniform devre aileleri tarafından hesaplanabilen fonksiyonlar farklı X için aynıdır.

— Peter Shor

6

Devreleri ve tek tip hesaplamaları "birleştirmenin" bir yolu, ve tavsiye devresini veren bir karmaşıklık sınırlı prosedürü gerektirmektir . P durumunda, yukarıdakileri yapabilen bir polinom zaman üretecine ihtiyaç duymanın P'yi doğru şekilde yakalayacağına inanıyorum. $n$ $C_n$

— Suresh Venkat
kaynak

Devre için bir LOGSPACE jeneratörü de P yakalamak için iyi çalışır.

— Peter Shor

5

Sadece devreler açısından tekdüzelik tanımı var mı?

Eğer "devreler açısından" demekle, düzgün olmayan devreler kastediyorsanız, cevap negatiftir. Devrelerin tanımı tekdüze değilse, hesaplanamayan fonksiyonların, sonuç olarak hesaplanamayan fonksiyonları hesaplayabilecek devreleri tanımlamak için kullanılmasına izin verecektir. Her zaman boyutunun bir devre oluşturmak için işlem $1$ biz devreleri tanımlamak için kullanan herhangi bir yolla bir fonksiyon hesaplanabilir olup. $f(|x|)$ $f$

Öte yandan, devreleri tanımlamak için tek tip devrelerle kısıtlanmasına izin verilirse, cevap açıkça olumludur. Ve ( ve eşit eşit) kullanabiliriz $FO$ $DLogTime$ homojenliği tanımlamak) kullanabiliriz. çok yakın devrelerine kavramsal olduğunu. $AC^0$ $FO$

Bana öyle geliyor ki, burada ana nokta, devreler için tekdüzelik tanımlamak için bazı üniform hesaplama modeline ihtiyacımız var, eğer devrelerin tanımı tek tip olmayan yollarla verilirse, devreler tek tip olabilir.

— Kaveh
kaynak

1

FO, DLogTime değerine eşit değildir, ancak

değişimleriyle alternatif günlük zamanına eşittir . Bununla birlikte, birçok doğal devre sınıfı için DLogTime-tekdüzelik ve FO-tekdüzelik çakışmaktadır.

O (1)

$O(1)$

— Emil Jeřábek,

A l t T i m e (O (1), O (\lg n))

$AltTime(O(1),O(\lg n))$

4

1) Sadece devreler açısından tekdüzelik tanımı var mı?

[Bu, Dick Lipton'un blogunda sorduğunuz aynı soruya verdiğim yanıtın düzenlenmiş bir sürümüdür. Dikkat: Uzman değilim.]

Evet (sanırım), en az iki farklı türde:

a) Devreler, bir Turing makinesi tarafından problem giriş boyutunda polinom zamanda üretilir (diğer bazı cevaplarda belirtildiği gibi). (Bu kavramın standart tanımı olduğunu düşünüyorum.)

Bu, üniforma olarak adlandırmak isteyebileceğimiz herhangi bir devre ailesini kapsar, ancak P-zaman kavramının bir tanımı olarak, devre aileleri üzerindeki tanımı Turing makinelerindeki tanımlamaya indirir, bu da istediğiniz şey olmayabilir.

b) Sorun girişini problem çözümüne dönüştüren 1 boyutlu bir hücresel otomat varsa (bir karar problemi için, çözelti, kararlı bir durum olan girişi içeren hücrelere göre belirtilen bir hücrede tek bir bit olacaktır. CA), giriş boyutunda polinom zamanda, bu basit bir şekilde 2D'de periyodik olan (zaman birimi başına hücre başına bir tekrar birimi) ve durumu sadece kuadrat olarak büyük bir bölgede göreli olan bir devreye karşılık gelir. çözüm süresi.

Bu çok özel bir üniforma devre ailesidir, ancak P'deki tüm sorunları çözmek için yeterlidir, çünkü bir Turing makinesi 1D CA olarak kolayca kodlanabilir. (Bu aynı zamanda daha önceki bir yanıtta belirtilen DLOGTIME-tekdüzelik tanımını da karşılamaktadır.)

(Bu, Turing makinelerinin Gowers'ın Lipton'un blogundaki yanıtlarında belirtilen devreler olarak kodlamasına benzer - aslında, bunlardan biri muhtemelen aynıdır.)

Bir Turing makinesini 1D CA olarak kodlamanın bir yolu: her hücrede, bir noktada bant durumunu temsil ediyoruz, turing makinesi kafasının şimdi burada olsaydı sahip olacağı durum (değeri burada değilse, değeri önemli değil) ve biraz da kafanın şimdi burada olup olmadığını söylüyor. Açıkçası, t zamanındaki bu tür her durum sadece t-1 zamanındaki yakın komşu ülkelerine bağlıdır, bunun bir CA olarak çalışması için tek ihtiyacımız olan şey budur.