Schaefer teoremi ve sınırsız genişlikteki CSP'ler

Schaefer'in ikilik teoremi, üzerindeki her CSP sorununun polinom zamanında çözülebildiğini veya NP-tamamlandığını göstermektedir. Bu, yalnızca SAT ve Horn-SAT hariç sınırlı genişlikteki CSP sorunları için geçerlidir. Sınırsız genişlikteki genel CSP sorunları çok zor olabilir (hatta hesaplanamaz), bu yüzden kendimizi "doğal" ve NP'de olan problemlerle sınırlayalım.$\{0,1\}$

Sınırsız genişlikte bir CSP sorunu göz önüne alındığında, her , sorunun k'ye kadar genişlik hükümleriyle sınırlandırılmasına bakabiliriz . Schaefer'in teoremi şimdi geçerlidir ve kısıtlı problem P veya NP-tamamlanmıştır. Bazı k için k kısıtlı problemi NP-tamamlanmışsa, sınırsız problem de öyledir. Tüm k için , k kısıtlı sorunu P'de olduğunda durum daha az açıktır .$k$$k$$k$$k$$k$$k$

Schaefer'in ikilik teoremi, tüm kolay durumları çözen dört (veya daha fazla) farklı algoritmaya dayanır. Belirli bir CSP problemi için kısıtlı problemin her zaman A algoritması ile çözülebildiğini varsayalım. A algoritmasının da sınırsız problemi çözmek için kullanılabileceği düşünülebilir. Ya da A algoritması sınırsız durumda polinom zamanı değildir ve sonra sorunun sertliği konusunda bilgisiziz.$k$

Bu tür bir sorun ele alındı ​​mı? "Bilgisiz" noktaya ulaştığımız örnekler var mı?

Bir "doğal Boolean CSP" için, k kısıtlı sürüm her k için P ise , o zaman sınırsız sürüm de P'dir . Aşağıda bir "doğal Boolean CSP" tanımlayacağım.

Schaefer teoremi sonlu kümesi üzerinde Boole CSP o devletler S aşağıdaki koşullardan en az birinin tatmin ve bunların hiçbiri yerine getirildiği takdirde o NP-tam olup olmadığını ilişkiler P içindedir:

1. Her ilişki S (sabit 0 hariç) tüm değişkenlere 1 atayarak karşılanmaktadır.
2. Her ilişki S (sabit 0 hariç) tüm değişkenlere 0 atayarak karşılanmaktadır.
3. Her ilişki S 2-CNF formüle eşdeğerdir.
4. Her ilişki S bir Boynuz-fıkra formüle eşdeğerdir.
5. Her ilişki S çift Horn-fıkra formüle eşdeğerdir. ("Çift Korna yan tümcesi formülü", her yan tümcenin en fazla bir pozitif değişmez içerdiği bir CNF formülü anlamına gelir.)
6. Her ilişki S afin maddeleri bir arada eşdeğerdir.

Şimdi P ≠ NP olduğunu varsayın ve S'nin sonsuz olduğu durumu düşünün . Eğer k- kısıtlı versiyonu her k için P ise , o zaman Schaefer teoremi ile, S'nin her sınırlı alt kümesi yukarıdaki altı koşuldan en az birini karşılar ve bu da bütün S setinin altı koşuldan en az birini karşıladığı anlamına gelir . Bu, ariteyle ilgili kısıtlama olmaksızın bu CSP'nin de P'de olduğu anlamına mı geliyor? Henüz değil.

S sonsuz olduğunda , giriş formülündeki her bir maddenin nasıl verileceğini belirtmemiz gerekir. Biz {0,1} bazı surjective haritalama olduğunu varsayalım ^* ile S ilişkilerin kodlamasını belirtir, S . Hem S hem de bu kodlama işlevi verilerek bir Boolean CSP belirtilir .

Yukarıdaki 3, 4, 5 ve 6. vakaların her birinde, koşulu karşılayan ilişkileri temsil etmenin doğal bir yolu olduğuna dikkat edin: vaka 3'te bir 2-CNF formülü, vaka 4'te bir Horn yan tümcesi formülü vb. Bir ilişki bir 2-CNF formülüne eşdeğer olsa bile (örneğin), kodlamasının ona eşdeğer olan 2-CNF formülüne kolay erişim sağladığı konusunda a priori bir garanti yoktur.

Şimdi bir Boolean CSP'nin kodlama işlevi aşağıdakileri karşıladığında doğal olduğunu söylüyoruz :

• Bir ilişkinin kodlanması ve tüm değişkenlerine bir atama verildiğinde, ilişkinin tatmin olup olmadığı polinom zamanında hesaplanabilir. (Not: Bu, söz konusu CSP'nin her zaman NP'de olmasını sağlar.)
• Koşul 3, 4, 5 veya 6'yı tatmin eden bir ilişkinin kodlanması göz önüne alındığında, yukarıda belirtilen doğal temsili polinom zamanında hesaplanabilir.

Daha sonra eğer S yukarıdaki altı koşuldan birini karşılıyorsa ve S için kodlamanın bu “doğallık” koşulunu karşıladığını görmek gerekirse , ilgili algoritmayı uygulayabiliriz. Başlangıçta belirttiğim iddia hem P = NP hem de P ≠ NP durumu göz önüne alınarak kanıtlanabilir.