Her minimum ayırıcının bağımsız bir küme olduğu grafikler

Arka plan: olsun , bir yönsüz grafik, iki köşe olması G = ( V , E ) . Bir köşe grubu S ⊆ V a, u , v -separator eğer U ve V , farklı bağlı bileşenlerine aittir G - S . Bir u ' nin uygun bir altkümesi yoksa , v -sarator S , bir u , v -parator, o zaman S , minimum bir u- ayırıcıdır. Bir köşe S kümesi$u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$ yoktur tepe noktaları mevcut ise (en az) ayırıcıdır u , v , öyle ki S bir (en az) bir u , v -separator.$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

İyi bilinen bir G. Dirac teoremi, sadece minimum ayırıcılarının her birinin bir klik olması durumunda, bir grafiğin indüklenmiş uzunluğu en az dört (üçgen şeklinde veya korid grafiği olarak adlandırılmış) olmadığını belirtir. Üçgen grafiklerin polinom sürede tanınabileceği de bilinmektedir.

Sorularım: Her minimum ayırıcının bağımsız bir küme olduğu grafikler nelerdir? Bu grafikler incelendi mi? Ve bu grafiklerin tanıma karmaşıklığı nedir? Bu grafiklerin örnekleri arasında ağaçlar ve çevrimler bulunur.

Grafikleriniz bu yazıda tanımlanmıştır http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf .

Düzenleme: Yukarıdaki kağıtta, her bir minimum ayırıcının bağımsız bir küme olduğu grafiklerin, tam olarak bir akorla hiçbir döngü içermeyen grafikler olduğu kanıtlanmıştır.

Tam bir akorlu bir döngü içermeyen grafikler, Trotignon ve Vuskovic, Eşsiz Bir Akor ve Döngüleri Olmayan Döngüsüz Grafikler için Bir Yapı Teoremi , J. Graph Theory 63 (2010) 31-67 DOI . Bu yazının sonucu olarak, bu grafikler polinom zaman içinde tanınabilir. (Bununla birlikte, bu makale bağımsız minimal ayırıcılarla bağlantıya işaret etmemiştir!)

Düzenleme (17 Eylül 2013): Çok yakın zamanda ( buraya bakın ), Terry Mckee, her minimum köşe ayırıcısının bir klik veya bağımsız bir küme olduğu tüm grafikleri açıklar. Bunların, her minimum köşe ayırıcısının bağımsız bir küme olduğu kordal grafiklerin ve grafiklerin '' kenar toplamları '' olduğu ortaya çıktı.

Görüldüğü üzere, her minimal ayırıcının bağımsız bir küme olduğu grafiklerin en erken karakterizasyonu TA McKee, "Bağımsız ayırıcı grafikler", Utilitas Mathematica 73 (2007) 217--224'te ortaya çıkmıştır. Bunlar kesin olarak hiçbir devrin kendine özgü bir akorun olmadığı grafiklerdir (veya her döngüde her akorun bir geçiş akoruna sahip olduğu denktir).

Tam bir akoru olan çevrimsiz grafiklerde iki yeni makale var. Her ikisi de esas olarak bu grafikleri renklendirme ile ilgilidir: http://arxiv.org/abs/1309.2749 ve http://arxiv.org/abs/1311.1928 .

$O(m^2n)$$O(mn)$