üzerinde

de giriş sayısı olarak alınan ve , , ve işlevlerinden oluşan geçitlere sahip bir devre düşünün $[0,1]$ $\max(x, y)$ $\min(x, y)$ $1 - x$ . Devrenin çıkışı dade bir sayıdır. $\frac{x+y}{2}$ $[0,1]$

Bu modelin veya yakından ilgili bir modelin çalışılıp çalışılmadığını bilen var mı?

Özellikle, bu devre için elde edilebilecek maksimum değeri hesaplayarak, bu devre için tatmin edilebilirlik problemini çözmeye çalışıyorum (kompakt bir alanda sürekli bir işlevi temsil ettiği için gerçekten maksimum değere ulaşıyor).

Açıklama: Bu modelle ilgili çalışmam, ağırlıklı geçici mantıklar yoluyla yapıldığı için, ikincisi ile ilgili herhangi bir model de kullanışlı olabilir.

arithmetic-circuits

— Shaull
kaynak

Elbette bu problem NP-zordur. (Satisfiability ile: AND, OR veya NOT yapabileceğiniz

.) Yani, bu sorunun NP'de olup olmadığı sorunuz ? Böyle bir devrenin 1 değerini veren bir girişe sahip olup olmadığına dair karar sorusu NP'de görünmektedir, çünkü böyle bir giriş varsa, 0/1 olan bir giriş vardır.

x \lor y \equiv max {x, y}

$x\vee y \equiv \max\{x,y\}$

\neg x \equiv 1 - x

$\neg x \equiv 1 - x$

— Neal Young

için kesin olarak

olası doğruluk değerinden birini seçersek , burada

, devrede bir

veya

düğümü görünecek şekilde düğüm çiftleridir , bu P'de çözülebilen doğrusal bir programlama problemine dönüşür. Böylece, orijinal maksimizasyon probleminin karar versiyonu NP'dedir. (Bu, asukasiewicz mantığındaki tatmin edilebilirlik sorununun bir çeşididir, bu nedenle ilgili bilgi için Haniková'nın Matematiksel Bulanık Mantık El Kitabı'ndaki bölümüne bakmak isteyebilirsiniz.)

\leq 2^{n}

$\le2^n$

x \leq y

$x\le y$

x, y

$x,y$

min (x, y)

$\min(x,y)$

max (x, y)

$\max(x,y)$

— Emil Jeřábek

@Shaull: Daha ayrıntılı olarak açıklayayım. Let

(burada dakika veya en fazla kapılardır devrenin düğümlenmesine

devre büyüklüğü ile sınırlıdır) ve izin

kapısı giriş düğümlenmesine

. Her

veya

ek bir kısıtlama seçin . Orada

{a_{i} : i < m}

$\{a_i:i<m\}$

m

$m$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

a_{i}

$a_i$

i < m

$i<m$

b_{i} \leq c_{i}

$b_i\le c_i$

c_{i} \leq b_{i}

$c_i\le b_i$

2^{m}

$2^m$ böyle seçimler. Böyle bir seçim sabitlendiği zaman, değiştirerek devrenin basitleştirilmesi için

ile

veya

dolayısıyla değişken problem orijinal değişkenlerdir doğrusal denklem ve tekabül eden ilave değişkenlerin bir sistem haline dönüşür, uygun olarak. ..

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

— Emil Jeřábek

... devredeki düğümler. Ek kısıtlamaların karşılandığını belirten

eşitsizliklerini, orijinal değişkenleri

sınırlayan eşitsizlikleri ve çıkış düğümünün

değerine sahip olduğunu belirten eşitsizlikleri ekleyin . Daha sonra bu ek kısıtlamalar seçimine bağlı olarak bir doğrusal program ve devre ulaşır değer

ilişkili doğrusal program bir çözelti sahip olacağı şekilde kısıtlamaları bir seçenek vardır iff.

m

$m$

[0, 1]

$[0,1]$

\geq u

$\ge u$

\geq u

$\ge u$

— Emil Jeřábek

Ayrıca, doğrusal bir programın optimum değerinin, politopun tepe noktasında elde edildiğine dikkat edin. Bu, optimal çözümün paydasının , girişleri sabit boyutlu tamsayılar olan

boyutundaki bir matrisin belirleyicisi olarak ifade edilebileceği ve her satırda sadece

sıfır olmayan girişlerin olduğu ve bu şekilde olduğu anlamına gelir. R20,

ile sınırlıdır .

O (n)

$O(n)$

O (1)

$O(1)$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

— Emil Jeřábek

$C$ $u\in[0,1]$ $x$ $C(x)\ge u$

$\{a_i:i<m\}$ $C$ $m\le n$ $n$ $b_i$ $c_i$ $a_i$ $i<m$ $b_i\le c_i$ $c_i\le b_i$ $2^m$ $a_i$ $b_i$ $c_i$ $n$

$m$ $[0,1]$ $\ge u$ $O(n)$ $\ge u$

$O(n)$ $O(1)$ $2^{O(n)}$

$\min(1,x+y)$ $(x+y)/2$

— Emil Jeřábek
kaynak

Bu problem NP zor.

Minimum ( x , y ), maksimum ( x, y ) ve 1− x kapılarıyla 3-SAT alabilirsiniz .

İstediğimiz, 3-SAT problemini, tüm değişkenler tatmin edilebilirse 1 alabileceğiniz bir devreye indirmektir ve aksi takdirde sadece 1'den az bir şey elde edebilirsiniz.

En az sayıda ifade alarak tüm değişkenleri 0 veya 1 olmaya zorlayabilir ve bu ifadelerin max ( x , 1− x ) içermesini sağlayabiliriz .

Şimdi 3-SAT sorunu her madde için x ∨ y ∨ z biz ifade koymak max ( x , y , z minimum).

Memnun edilemez bir 3-SAT problemi için en uygun değerin ne olduğunu bilmiyorum, ancak kesinlikle 1'den az olacaktır.

— Peter Shor
kaynak

Evet, NP sertliği yukarıdaki açıklamada belirtildiği gibi "kolay yön" dür. Aslında, ortalama geçidi kullanmazsanız, sadece min ve maks ise, karşılık gelen Boolean devresi tatmin edilebilirse maksimum değerin 1 olduğunu ve 1/2 aksi takdirde (sadece tümüne 1/2 takarak) olduğunu göstermek kolaydır. değişkenler). Her neyse, sorun yukarıdaki yorumlarda çözüldü.

— Shaull

Tam olarak ne istediğini değil, benzer devrelerin göründüğü bir bağlam.

$1-x$

— Yuval Filmus
kaynak

1 - x

$1-x$