Çok dilli DFA minimizasyonu

DFA'nın hafif bir genellemesi ile ilgileniyorum. Her zamanki gibi, devlet setli , sonlu alfabe , üzerinde tarafından tanımlanan bir işlemi var ve başlangıç durumu ; ancak normal terminal seti yerine , alt kümelerinin bir ailesini . Çok dilli bir DFA daha sonra $Q$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $Q$ $\delta : Q\times\Sigma\rightarrow Q$ $q_0$ $(T_i)_{i\in 1..n}$ $Q$ $M$

$(Q, \Sigma, \delta, q_0, (T_i))$

ve , iff içinde bazı . Define eğer gibi, M tarafından tanınan dil ailesi olmak. $L \subseteq \Sigma^*$ $M$ $L = \{s\in\Sigma^*|q_0s\in T_i\}$ $i\in 1..n$ $(L_i(M))_{i\in 1..n}$

Tamam, şimdi benim soru için: Düzenli dillerin bir aile verilmiş , Minimal Çoklu dil DFA bulmak istediğiniz , yukarıda anlatılan gibi bu için tüm , yani,tüm bu makinelerde minimize edilmiştir. Benim sorum, bunu yapmanın bilinen standart etkili yolları var mı, belki de standart DFA minimizasyon teorisine benzer mi? Tersine, bu sorunun zor olabileceğine dair bir kanıt var mı? $(L_i)_{i\in 1..n}$ $M$ $L_i = L_i(M)$ $i\in 1..n$ $|Q|$

automata-theory dfa

— gdmclellan
kaynak

Bana öyle geliyor ki, sadece başlangıç durum kümesini, tek bir küme yerine verilen alt kümelerinin her biri için kabul edip etmediklerine göre bölümlere ayırarak başlayacak şekilde değiştirilmiş standart bölüm-ayrıntılandırma tabanlı algoritma sadece çalışmalıdır. hemen. Neden olmasın? Devlet çiftlerini sadece bölünmeleri gerektiğinde böler, bu yüzden hala devletlerin en kaba arıtmasını üretir.

Ti $T_i$

T $T$

— David Eppstein

@DavidEppstein tarafından yorumun kanıtı denklik ilişkisi tanımlarsak kolaydır IFF her için , burada Myhill-Nerode denklik ilişkidir. Daha sonra standart küçültme algoritmasıyla aynı satırlarda ilerleyebilirsiniz.

x∼y $x\sim y$

x∼Tiy $x\sim_{T_i}y$

i $i$

x∼Tiy $x\sim_{T_i} y$

— Shaull

pek anlamadım. Bu sorunun cevabı, farklı son durumlar dışında her DFA dışında aynı "kurulum" a sahip bir DFA birliğinin minimal ? ayrıca in tanınması da tam anlamıyla bir anlam ifade etmiyor gibi görünüyor, dizeleri ve durum kümelerini karıştırıyor gibi görünüyor.

1..n $1..n$

L={...} $L=\{...\}$

— vzn

DavidEppstein ve Shaull'un dikkat çektiği noktalar çekici görünüyor, bölümün hala minimum otomatı verdiğine kendimi ikna etmek için zamanım olduğunda Myhill-Nerode teoreminin üzerinden geçmek için biraz zaman bulacağım. Gezde çok açık görünüyor.

— gdmclellan

@vzn: kesinlikle orijinal otomatın dillerini birleştirmek istemiyorum; ve çakışabilir. Dil ile çoklu dil DFA ve , örneğin, rapora mümkün olmalıdır fakat . Bir dil tanıma tanımlanmasında kullanılan gösterim için olduğu gibi, gösterim uzanan tanımlanır a ile -Eylem tüm aşağıdaki kurallara göre : .

Ti $T_i$

A $A$

B $B$

s∈A $s\in A$

s∉B $s\notin B$

δ $\delta$

Σ∗ $\Sigma^*$

Q $Q$

q∈Q,σ∈Σ,s∈Σ∗ $q\in Q, \sigma\in\Sigma, s\in\Sigma^*$

qσ=δ(q,σ),q(sσ)=(qs)σ $q\sigma = \delta(q, \sigma), q(s\sigma) = (qs)\sigma$

— gdmclellan

Kısa cevap . Düzenli dillerin sınırlı bir ailesi olan verildiğinde, bu aileyi tanıyan benzersiz bir minimum deterministik tam çoklu otomat vardır. $\mathcal{L} = (L_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$

Ayrıntılar . durumu standart yapıya karşılık gelir ve genel durum ruh açısından çok farklı değildir. Bir dil Verilen ve bir kelime , let . Bir denklik ilişkisi tanımlama üzerinde ayarlayarak yana bu ahenk sonlu indekse, düzenlidir. Ayrıca, her ile doyurulduğunu ve her için , anlamına geldiğini görmek kolaydır. $n = 1$ $L$ $u$ $u^{-1}L = \{ v \in A^* \mid uv \in L \}$ $\sim$ $A^*$

u \sim v ⟺ for each L \in L, u - 1 L = v - 1 L

$u \sim v \iff \text{for each }L \in \mathcal{L},\ u^{-1}L = v^{-1}L$

Li $L_i$

∼ $\sim$

a∈A $a \in A$

u∼v $u \sim v$

ua∼va $ua \sim va$ . Bize göstermek Let tarafından boş kelime ve tarafından -sınıfı bir kelimenin . Let aşağıdaki gibi tanımlanır deterministik çoklu da olmalıdır:

1 $1$

[u] $[u]$

∼ $\sim$

u $u$

AL=(Q,[1],⋅,(Fi)1⩽i⩽n) $\mathcal{A}_\mathcal{L} = (Q, [1], \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$

$Q = \{ [u] \mid u \in A^*\}$ ,
$[u] \cdot a = [ua]$ ,
$F_i = \{ [u] \mid u \in L_i\}$ .

Yapım ve yalnızca ve dolayısıyla , ailesini kabul ederse . nin minimum olduğunu kanıtlamaya devam ediyor . Güçlü bir cebirsel anlamda asgari düzeydedir (bu, minimum sayıda duruma sahip olduğu anlamına gelir). Let ve iki çoklu otomata olmalıdır. Bir morfizmanın den bir örten haritasıdır üzerine bu şekilde $[1] \cdot u \in F_i$ $u \in L_i$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{A} = (Q, q_-, \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ $\mathcal{A}' = (Q', q'_-, \cdot, (F'_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ $f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ $Q$ $Q'$

$f(q_-) = q'_-$ ,
için , , $1 \leqslant i \leqslant n$ $f^{-1}(F'_i) = F_i$
tüm ve , . $u \in A^*$ $q \in Q$ $f(q \cdot u) = f(q) \cdot u$

Daha sonra herhangi bir erişilebilir deterministik çoklu otomat kabul , bir morfizmanın vardır üzerine . Bunu kanıtlamak için, önce , sonra . Şimdi , ile tanımlanır; burada , şekilde herhangi bir kelimedir . Daha sonra üç gerekli özelliği karşıladığını gösterebilir . $\mathcal{A}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $q_- \cdot u_1 = q_- \cdot u_2 = q$ $u_1 \sim u_2$ $f$ $f(q) = [u]$ $u$ $q_- \cdot u = q$ $f$

Sonu biraz kabataslak, daha fazla ayrıntıya ihtiyacınız varsa bana bildirin.

— J.-E. Toplu iğne
kaynak