K-düzenli grafiklerin Hamiltonicity

Bir Hamiltonian döngüsünün düzlemsel (Garey, Johnson ve Tarjan, SIAM J. Comput. 1976) veya iki partili (Akiyama, Nishizeki, olsa bile) 3 düzenli bir grafikte var olup olmadığını test etmenin NP tamamlanmış olduğu bilinmektedir. ve Saito, J. Inform. Proc. 1980) veya Jordanian eğrilerinin bir düzenlemesinin oluşturduğu grafik olsa bile, bir Hamiltonian döngüsünün 4-düzenli bir grafikte var olup olmadığını test etmek için (Iwamoto ve Toussaint, IPL 1994).

K-düzenli grafiklerin Hamiltonicity sınamak için hangi k için NP tamamlandığı bilinmektedir?

İlgilendiğim özel durum, 6 sıralı grafikler ve grafiğin tuhaf sayıda köşeleri olması şartı ile birlikte. Bu durumun NP tamamlanmış (veya polinom) olduğu gösterilebiliyorsa, http://arxiv.org/abs/1009.0579'da açıklanan grafik çizme probleminde etkisi olacaktır . "Tek sayı köşeleri" koşulu, gerçekten bilmek istediğim şey, 6 normal grafikler için grafiğin bir Hamiltonian döngüsü mü yoksa iki taraflı bir 2 faktör mü içerdiğidir; ancak tek sayıda tepe noktasına sahip olmak, sadece bir Hamiltonian devri olasılığını bırakarak iki taraflı bir 2 faktör olasılığını ortadan kaldırır.

İlk adım, grafiğin köşelerinde bile sayı olduğunu varsayalım. İkinci aşamada, yapıyı uzatacağız, böylece eğer k eşitse o zaman grafiği nasıl tuhaf köşelere sahip hale getireceğimizi göstereceğiz.

Çözüm, diğer cevabında önerilen fikrin iyileştirilmesidir.

İlk kısım

İddia: Çift sayıda köşeli bir düzenli grafik G verildiğinde , ( k + 1 ) -düzenli olan bir H grafiği hesaplanabilir ve H , Hamiltoniyen iff G ise Hamiltonyen'dir.$k$$G$$H$$(k+1)$$H$$G$

$k$$G$$G_1$$G_2$$v \in V(G)$$v_1$$v_2$$k+2$$v$$v'$v 1 v ′ v 2 v ″ C ( v ) $v''$$v_1$$v'$$v_2$$v''$. bu bileşeni göstermesine izin verin .$C(v)$$v$

Bunu tüm köşeleri için tekrarlayın ve sonuç grafiğini göstermesine izin verin .$G$$H$

Açıkçası, grafiği düzenli olarak . Hamiltoniyen olduğunu ve sadece Hamiltoniyen olduğunu iddia ediyoruz .k + 1 H $H$$k+1$$H$$G$

Bir yön temiz. Bir Hambiltonian döngüsü göz önüne alındığında , biz bir döngü içine çevirebilir . Gerçekten de, her çevrim ziyaret bir köşe , biz hareket olarak yorumlar için tüm köşe ziyaret sırasında (veya tam tersine) . Bu haliyle, bu bir Hamiltonian döngüsüyle sonuçlanmaktadır . (Unutmayın, bu, orijinal köşelerin sayısının eşit olduğu gerçeğini kullandığımız yerdi - çevrim tuhafsa bu bozuluyor.), H v v 1 v 2 ° C ( h ) $G$$H$$v$$v_1$$v_2$$C(v)$$H$

Diğer yöne gelince, bir Hamilton dönemi düşünün . nin başlayan , tüm köşelerini ziyaret ettiği ve (veya simetrik seçenekten) ayrılan bir bölümü tarafından ziyaret edilmesi gerekir . Gerçekten de, Hamilton dönemi aynı . Bu şekilde, bir Hamilton döngüsü bir Hamilton döngü olarak doğal yorumu olarak . QED.Cı ( v ) v 1 ° C ( v ) hacim 2 h i H $H$$C(v)$$v_1$$C(v)$$v_2$$v_i$$H$$G$

İkinci kısım

Aşağıda, Tsuyoshi tarafından belirtildiği gibi, normal bir grafikte herhangi bir tepe noktası sayısı vardır. Bu nedenle, sorun, köşeleri eşit olan düzenli bir grafik için zordur . Yani, yukarıda indirgeme gösterir sorun herhangi zordur Elde edilen grafik köşe çift sayıda olmasına rağmen, -Ücretli grafik.$3$$k$

Aşağıdaki sorunun NP zor olduğunu ima ettiğini görüyoruz.

Problem A: Eşit sayıdaki köşeli bir grafiğinin belirli bir kenardan geçen bir Hamilton döngüsüne sahip olup olmadığına karar vermek .$G$$e$

Bununla birlikte, eğer bile bir örnek verildiyse istenen soruna indirgeyebiliriz. Aslında, kenar yerine ait bir klik ile klik bir kenarı, silme ve uç noktaları olan iki uç noktayı bağlamadan önce olduğu gibi, köşeler , kaldırma grafiğinden. Açıkçası, yeni grafiği için :( G , e ) e k + 1 e e $k$$(G, e)$$e$$k+1$$e$$e$$H$

• $H$ , şeklindedir.$k$
• G $H$ IFF Hamilton olan kullanılarak bir döngü ile Hamilton olan .$G$$e$
• | V ( G ) | + k + 1 $H$ var köşeleri => , tek sayıda köşeye sahip.$|V(G)| + k+1$$H$

Not, bir o -Ücretli grafiktir için tek, köşelerin bir çift sayı olmalıdır Bu şekilde, hiçbir vardır, (sadece kenarları sayısı) ile, köşe tek sayıda -Normal grafikler tek olmak.k k $k$$k$$k$$k$

Sonuç

Bir düzenli grafiğin için bir Hamiltonian döngüsüne sahip olup olmadığına karar vermek NP- . Grafikte çok sayıda köşe noktası olsa bile sorun NP-Hard olarak kalıyor.k ≥ $k$$k\geq 3$

Elbette, aptalca bir hata yaptım her zaman mümkün.

Egzersiz

Eğer düzenindeki bir grafikten (yani) düzenli olan bir grafiğe gitmek istiyorsak , yukarıdaki indirgemeyi uygulamaktan kaynaklanan grafik tekrar tekrar bağlı bir boyuta sahip bir grafikle sonuçlanır . Bir düzenli grafik ve verildiğinde, -normal olan bir grafiği oluşturabilir ve onun boyutu ve polinomdur , burada , köşelerin sayısıdır ve . Ayrıca, yalnızca ise Hamiltoniyen ise Hamiltoniyendir.2 k k k G ı > 2 H ( k + i ) k , i , n , n G G $k$$2k$$k$$k$$G$$i >2$$H$$(k+i)$$k,i$$n$$n$$G$$G$$H$

(Bunu nasıl çözeceğimi bildiğimden beri bunu bir soru olarak değil, bir alıştırma olarak gönderiyorum).

EDIT: Yorumlarda belirtildiği gibi bu ispat yanlıştır. (Gönderiyi silmeli miyim?)

Hamiltonicity, k-düzenli grafikler için NP-sert ise sezgisel olarak hissediyorsa, o zaman (k + 1)-düzenli grafikler için NP-sert olmalıdır. İşte bana iyi görünen bir zarf arkası azaltma, ama elbette bir yanlışlık olabilir.

G düzenli bir grafik olsun. G 'nin G grafiğinin Kartezyen ürünü ve bir kenarı olmasına izin verin. Başka bir deyişle, G ', iki G kopyasına sahip grafiktir ve her tepe noktası kopyasına bağlanır. G 'şimdi (k + 1) normaldir, çünkü her köşe 1 ekstra kenara sahiptir.

Talep: G, yalnızca G 'bir Hamiltonian döngüsüne sahipse bir Hamilton döngüsüne sahiptir.

Kanıt: G bir Hamilton döngüsüne sahipse, G'nin de olduğunu görmek kolaydır. Diyelim ki (u, v) Hamilton döngüsünün bir kenarı. Bu kenarı kullanmadan çevrimi u'dan v'ye geçirin ve şimdi kenarı kullanmak yerine v 'den v' ye gidin, burada v ', G kopyasında v'ye karşılık gelen tepe noktasıdır. Şimdi, çevrimi ters sırayla hareket ettirin Bu grafikte, bizi tekrar size ulaştırır. Şimdi sizden u'ya geçin, bu da döngüyü tamamlar.

Eğer G 'köşe U'dan başlayarak bir Hamiltonian döngüsüne sahipse, G üzerinde aynı geçiş sırasını göz önünde bulundurun. Aynı grafikteki bitişik bir tepe noktasına bir hareket yapıldığında, her seferinde G de aynı hareketi yaparız. diğer grafikteki ilgili köşeye kadar hiçbir şey yapmıyoruz. Her hareket G grafiğinde geçerli olduğundan ve döngü tepe noktasında u sona erdiğinden, bu bir Hamilton dönemidir.