Nasıl ifade edebiliriz?

1. Nasıl ifade edebiliriz "$P=PSPACE$"birinci dereceden bir formül olarak?
2. Aritmetik hiyerarşinin hangi seviyesi bu formülü içerir (ve onu içeren hiyerarşinin şu anda bilinen minimum seviyesi nedir)?

Referans için Lipton'un bu blog gönderisine bakın .

Öncelikle, "yanlış" ifadesinin önerildiği soruya yapılan yorumları ele almak istiyorum $P = PSPACE$ifadesi nedeniyle olduğunu yanlış. Bu iyi bir şaka olsa da, aslında bu şekilde düşünmek çok zararlıdır. Belli bir biçim sisteminde belirli bir cümleyi nasıl ifade edeceğimizi sorduğumuzda, gerçek değerleri hakkında konuşmuyoruz. Eğer olsaydık, o zaman birisi "Sonsuz sayıda asal olduğu gerçeğini nasıl yazabilirim?" "3 + 3 = 6" yanıtını verebiliriz, ancak bu açıkça olmayacaktır. Aynı nedenden dolayı "false", "nasıl yazarım" için geçerli bir cevap değildir$P = PSPACE$Sanırım Frege ve Russell bize bu dersi vermek için çok uğraştılar. Tamam, şimdi cevaba.

Nasıl ifade edeceğimi göstereyim $PSPACE \subseteq P$, diğer yön benzerdir ve daha sonra bunları bir araya getirebilirsiniz. $PSPACE = P$. Her durumda, amaçlarınız için sadece ifade etmek yeterli olabilir$PSPACE \subseteq P$, ne yaptığınıza bağlı olarak.

Kleene yükleminin yapısındakine benzer teknikler kullanmak$T$, sınırlı bir nicel formül oluşturabiliriz $accept_{space}(k, m, n)$ (böylece $\Sigma^0_0 = \Pi^0_0$) "tarafından kodlanan makineyi çalıştırdığımızda $k$ ve alan kullanımını $|n|^m$, makine girişi kabul eder $n$." Buraya $|n|$ uzunluğu $n$. Bu tür formüllerin var olduğunu görmenin gayri resmi bir yolu şudur:$k$, $m$, ve $n$ ne kadar zaman ve ne kadar alana ihtiyacımız olduğuna dair ilkel özyinelemeli hesaplayabiliriz (yani, en fazla $|n|^m$ boşluk ve en fazla $2^{|n|^m}$süresi). Daha sonra hesaplanmış sınırlar dahilindeki tüm olası yürütme izlerini araştırırız - böyle bir arama oldukça verimsizdir, ancak ilkel özyinelemelidir ve böylece sınırlı bir formül olarak ifade edebiliriz.

Benzer bir formül var $accept_{time}(k, m, n)$ çalışma süresinin bağlı olduğu $|n|^m$.

Şimdi formülü düşünün:

$$\forall k, m . \exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k,m,n) \Leftrightarrow accept_{time}(k',m', n).$$ Her makine için $k$ en fazla yer kaplayan $|n|^m$ bir makine var $k'$ en çok kullanan $|n|^{m'}$ ki iki makine tamamen aynı kabul eder $n$'S. Başka bir deyişle, formül diyor ki:$PSPACE \subseteq P$. Bu formül$\Pi^0_3$.

Eğer cümleyi ifade etmek istiyorsak bunu iyileştirebiliriz "$TQBF$olarak, çoğu uygulama için yeterince iyi olması gereken "polytime içindedir TQBF Pspace tamamlandıktan ve polytime olmanın böylece eşdeğer etmektir$PSPACE \subseteq P$. İzin Vermek$k_0$ Uzayda TQBF'yi tanıyan bir makine olmak $|n|^{m_0}$. Sonra "$TQBF \in P$"olarak ifade edilebilir

$$\exists k', m' . \forall n . accept_{space}(k_0, m_0, n) \Leftrightarrow accept_{time}(k', m', n).$$ Bu formül sadece $\Sigma^0_2$. Eğer bir karmaşıklık kuramcısı olsaydım, daha iyisini yapmanın mümkün olup olmadığını bilirdim (ama bundan şüpheliyim).

Andrej zaten açıkladı $P=\mathit{PSPACE}$ olarak yazılabilir $\Sigma^0_2$-sentence. Bu sınıflamanın, eğer ifade bir$\Pi^0_2$-sansa, bu gerçek göreli olamıyor. Daha doğrusu, oracles seti$A$ öyle ki $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ tarafından tanımlanabilir $\Sigma^0_2$- ücretsiz ikinci dereceden değişkenli formüller $A$, ancak herhangi biri tarafından tanımlanamaz $\Pi^0_2$-Formül. Argüman ana hatlarıyla verilmiştir ($P=\mathit{NP}$, ama aynı şekilde çalışır $\mathit{PSPACE}$) /mathpro/57348 adresindeki yorumlarda . (Aslında, setin olduğu fikrinin detaylandırılmasıyla gösterilebilir.$\Sigma^0_2$-complete in the appropriate sense.)

EDIT: The topological proof given in the linked comment is short, but it may appear tricky. Here is a direct forcing argument.

$P^A\ne\mathit{PSPACE}^A$ can be written as a $\Pi^0_2$-formula of the form $\phi(A)=\forall x\,\exists y\,\theta(A,x,y)$, where $\theta$ is $\Delta^0_0$. Assume for contradiction that $P^A=\mathit{PSPACE}^A$ is also equivalent to a $\Pi^0_2$-formula $\psi(A)=\forall x\,\exists z\,\eta(A,x,z)$. Fix oracles $B$, $C$ such that $P^B\ne\mathit{PSPACE}^B$ and $P^C=\mathit{PSPACE}^C$.

Since $\phi(B)$, there exists $y_0$ such that $\theta(B,0,y_0)$. However, $\theta$ is a bounded formula, hence the evaluation of the truth value of $\theta(B,0,y_0)$ only uses a finite part of the oracle. Thus, there exists a finite part $b_0$ of $B$ such that $\theta(A,0,y_0)$ for every oracle $A$ extending $b_0$.

Let $C[b_0]$ denote the oracle which extends $b_0$, and agrees with $C$ where $b_0$ is undefined. Since $P^A$ and $\mathit{PSPACE}^A$ are unaffected by a finite change in the oracle, we have $\psi(C[b_0])$. By the same argument as above, there exists $z_0$ and a finite part $c_0$ of $C[b_0]$ such that $\eta(A,0,z_0)$ for every $A$ extending $c_0$. We may assume that $c_0$ extends $b_0$.

Continuing in the same fashion, we construct infinite sequences of numbers $y_0,y_1,y_2,\dots$, $z_0,z_1,z_2,\dots$, and finite partial oracles $b_0\subseteq c_0\subseteq b_1\subseteq c_1\subseteq b_2\subseteq\cdots$ such that

1. $\theta(A,n,y_n)$ for every oracle $A$ extending $b_n$,

2. $\eta(A,n,z_n)$ for every oracle $A$ extending $c_n$.

Now, let $A$ be an oracle which extends all $b_n$ and $c_n$. Then 1 and 2 imply that $\phi(A)$ and $\psi(A)$ simultaneously hold, which contradicts the assumption that they are complements of each other.