Çözünürlük genişliği

Hatırlatma; genişliği bir çözünürlük çürütülmesi ve bir CNF Formül F meydana gelen herhangi bir madde olarak değişmez maksimal sayısıdır R . Her için w , edilemezdir formüller vardır F her çözünürlük çürütülmesi 3-CNF st F en azından genişliği gerektirir w .$R$$F$$R$$w$$F$$F$$w$

Ben genişlik 4 çözünürlük çürütme olmayan 3-CNF (mümkün olduğunca küçük ve basit) tatmin edici olmayan bir formül somut bir örnek gerekir.

Aşağıdaki örnek Atserias ve Dalmau (tarafından çözünürlük genişliğinin bir kombinasyon karakterizasyonu verir kağıttan geliyor Dergisi , ECCC , yazarın kopya ).

Bir CNF formülü verilen, kağıt durumlarının teoremi 2 , en fazla genişlikte çözünürlüğü çürüten k için F varoluş olarak Spoiler için stratejiler kazanan eşdeğerdir ( k + 1 ) -pebble oyun. Varoluşsal çakıl oyununun Spoiler ve Teksir denilen iki rakip oyuncu arasında oynandığını ve oyunun pozisyonlarının F değişkenlerine en fazla k + 1 alan adı kısmi atamaları olduğunu hatırlayın . In ( k + 1 ) -pebble oyun, boş atama başlayarak Spoiler gelen bir madde tahrif istiyor $F$$k$$F$$(k+1)$$k+1$$F$$(k+1)$$F$aynı anda en fazla boole değerini hatırlarken Duplicator, Spoiler'ın bunu yapmasını önlemek istiyor.$k+1$

Örnek, güvercin deliği prensibine (olumsuzlama) dayanmaktadır.

Her için ve j ∈ { 1 , ... , n } , izin s i , j, güvercini anlamına gelen önerme değişken i delik oturur j . Her için i ∈ { 1 , ... , n + 1 } ve j ∈ { 0 , ... , n } , let$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{1, \dotsc, n \}$$p_{i,j}$$i$$j$$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{0, \dotsc, n \}$ yeni bir öneri değişkeni olur. Aşağıdaki 3 -CNF formülü E P i , güvercin i'nin bir delikte oturduğunuifade eder: E P i ≡ ¬ y i , 0 ∧ n ⋀ j = 1 ( y i , j - 1 ∨ p i , j ∨ ¬ y i , j ) ∧ y i , n$y_{i,j}$$3$${EP}_i$$i$

$${EP}_i \equiv \neg y_{i,0} \wedge \bigwedge_{j=1}^n (y_{i,j-1} \vee p_{i,j} \vee \neg y_{i,j} ) \wedge y_{i,n}.$$ Son olarak, güvercin deliği prensibinin olumsuzluğunu ifade eden -CNF formülü E P H P n + 1 n , tüm E P i ve tüm H i , j k ≡ ¬ p i , k ∨ ¬ p j , k cümlelerinin birleşimidir. için i , j ∈ { 1 , ... , n, + 1 } , i ≠ j ve$3$${EPHP}_n^{n+1}$${EP}_i$$H_k^{i,j} \equiv \neg p_{i,k} \vee \neg p_{j,k}$$i,j \in \{1, \dotsc, n+1 \}, i \ne j$ .$k \in \{1, \dotsc, n \}$

Makalenin Lemma 6'sı, Spoiler'ın E P H P n + 1 n'de çakıl oyununu kazanamayacağı konusunda oldukça kısa ve sezgisel bir kanıt verir , bu nedenle E P H P n + 1 n'nin en fazla n çözünürlük çözünürlüğü yoktur - 1 .$n$${EPHP}_n^{n+1}$${EPHP}_n^{n+1}$$n-1$

Makalenin, yoğun doğrusal düzen ilkesine dayanan Lemma 9'da başka bir örneği vardır.

$\Omega(n^{(k-3)/12})$$k+1$