Aynı önyargılı paralardan adil bir para biriktirmek için en iyi yol nedir?

(Von Neumann, aynı önyargılı madeni paralara erişime izin verilen adil bir madeni para taklit eden bir algoritma verdi. Algoritma potansiyel olarak sonsuz sayıda madeni para gerektiriyor (her ne kadar beklemekle birlikte, son derece yeterlidir). sınırlı.)

Önyargılı ile aynı sikkelerimiz olduğunu varsayalım . Amaç, önyargılılığı en aza indirirken tek bir bozuk para atımını simüle etmektir.$n$$\delta=P[Head]-P[Tail]$

Simülasyon şu anlamda verimli olmalıdır: Polinom zamanında çalışan bir algoritma rastgele bitlere bakar ve tek bir bit verir. Algoritmanın önyargısıbeklenti ile tanımlanan dağılım üzerinden alınır burada IID bit şekilde .B i bir s ( A ) = | E [ A = 0 ] - E [ A = 1 ] | n, x 1 , ... , x , n p r O , b [ x i = 1 ] - P r O , b [ x i = 0 ] = $n$$Bias(A)=|E[A=0]-E[A=1]|$$n$${x_1,\ldots,x_n}$$Prob[x_i=1]-Prob[x_i=0]=\delta$

Polinom zamanında çalışan algoritması en az önyargıya sahiptir ?B ı bir s ( A $A$$Bias(A)$

Bu soru benim için çok doğal görünüyor ve daha önce düşünülmüş olması çok muhtemel.

Bu sorun hakkında ne bilinir? Algoritmaların zayıf bir sınıfı ( , vb.) Göz önüne alındığında bilinen herhangi bir şey var mı ?$AC_0$

Önyargılı paraları atmak ve kafaların paritesini almak, katlanarak yaklaşır .$\frac{1}{2}$

[Bir ispat için, kafalar 1 olduğunda kuyruklar olduğunda 1 ve rasgele bir sayı olması olasılığını göz önünde bulundurun, ardından tek sayıda kafa olma olasılığı sadece ]$E\left[\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\prod_i X_i\right] = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\delta^n$

Belki de bu, aşağıdaki sebeplerden dolayı en uygunudur. bu bitlerin herhangi bir kompozisyon fonksiyonu olsun . Sonra, ve en iyi parite işlevi gibi görünüyor (değil mi?).Önyargı ( f ) = Σ S f ( S ) ö | S | $f$$\text{Bias}(f) = \sum_S \hat{f}(S) \delta^{|S|}$$f$

Daha düşük karmaşıklıktaki kompozisyon işlevleriyle ilgileniyorsanız, belki de “NP içindeki Sertlik yükseltmesi” konulu Ryan O'Donnell'in bir makalesi çok ilgili olacaktır. Orada sertlik amplifikasyonları için monoton kompozisyon fonksiyonlarını kullanır ve çalışan fonksiyonlar gürültü hassasiyetleriyle karakterize edilir.

Önyargı biliniyorsa veya bilinmiyorsa, söylemezsiniz. Von Neumann'ın algoritmasının büyüsü, her iki durumda da işe yaramasıdır.

Bilinen olduğunu varsayalım. O zaman en iyi cevap kritik önyargının sayı-teorik özelliklerine dayanır. P = 2/3 alalım. Bozuk parayı iki kez atıp HH'yi 0 ve TH'yi ve HT'yi 1'e eşleştirin, sonuç TT ise tekrar edin. O zaman 0 ve 1 eşit derecede muhtemeldir ve tekrarlama şansı von Neumann algoritmasıyla 5/9 yerine sadece 1 / 9'dur. Veya şartlarınıza koymak için, yineleme sınırınız 2 ise sonuçlardan sadece birini 1/9 ile önyargılı hale getirin.

Bunların hepsi bilgi teorisi ve kodlama teorisi ile yakından ilgilidir. P, daha karmaşık bir pay ve paydaya sahip bir kesirse, en iyi algoritma, 2'den daha uzun bir blok uzunluğu gerektirir. Belirli bir önyargı için, en az en uygun olan bir prosedür olduğunu göstermek için Shannon tarzı bir varlık argümanı kullanabilirsiniz. İsterseniz, ancak blok uzunluğu çok büyük olabilir.

Von Neumann'ın Rastgele Uçları Çıkarma Prosedürü'nü yineleyen makalesinde Peres , von Neumann'ın algoritmasının bir versiyonunun Shannon sınırına keyfi olarak yaklaşabileceğini kanıtlıyor. Bu alandaki çalışmaların birçoğu bilgi teorisyenleri ve istatistikçiler tarafından yapılmış gibi görünüyor, bu yüzden sorunuza doğrudan cevap verebilecek karmaşıklık teorik eğimli herhangi bir kağıt düşünemiyorum.

Bunun tersini soran eğlenceli bir sorun var: Adil bir bit kaynağınız varsa, ikisinin gücü olmayan bazı kümeler üzerinde düzgün bir dağılımını nasıl verimli bir şekilde sağlarsınız? Sorunuza benzeyen problemin yinelemeli versiyonu, entropiyi en üst düzeye çıkarmak (yani dağıtımı mümkün olduğunca tek tip) yapmak için adil bir madalyonun atar.

Soruyu aşağıdaki genelleştirilmiş formda düşünmeyi tercih ederim: tam bir ikili yükseklik ağacına sahibiz, burada her bir düğümün sayıların toplamı 1 olduğu bir sayıdır: Yaprakları toplamın iki kümesine ayırabilir miyiz? sayıları onlara yakın mı?

$p$$q=1-p$$p^i q^{n-i}$

Diğer cevaplarda belirtildiği gibi, en korsan amaçlar için bitlerin paritesini almak iyidir. Önyargı: .$\sum_{i} {\binom{n}{i} parity(x) p^i q^{n-i}} = \sum_{i} {\binom{n}{i} (-p)^i q^{n-i}} = (q-p)^n$

Genel olarak, yeterli bilgi işlem kaynağımız varsa ( rastgele bit sayısındaki söyleyin ), düğümleri mümkün olan en iyi şekilde bölümlendirebiliriz.$PSpace$

EDIT "Bu temelde Shannon kodlama problemidir." (Per Vognsen'e teşekkürler.) EDIT SONU

Öte yandan, yalnızca kullanmamıza izin verilirse , o zaman lemma anahtarlaması nedeniyle fazla bir şey başaramadığımızı göstermek zor değildir. Devre bir CNF tarafından üstel olarak iyi bir şekilde yaklaştırılacak ve bir CNF'nin iyi bir önyargı ile bir cevap hesaplayamayacağını göstermek zor değildir.$AC^0$

(Bu cevap hata içerebilir, ayrıntıları kontrol etmedim.)

Ayrıca önyargılı bozuk paralardan birçok rastgele bit elde edebilirsiniz, bkz. Gabizon 'un Ürün Dağılımları altındaki makalesinde Derandomizing algoritmaları (http://sites.google.com/site/arielgabizon1/)

İlgili soru, farklı site: rastgele bit dizisini beyazlatma

Bir çift bozuk para fırlatıcısının önyargılı bir madeni parayla tarafsız olmasını istiyorsanız, önyargının kaldırılmasının kolay yolu diğer her fırlamanın sonucunu tersine çevirir.