Kara kutu kullanarak sıralama

Biz liste sıralamak istediğinizi varsayalım ait gerçek sayılar. Biz sıralayabilir siyah kutu verildiğini varsayalım anında gerçek sayılar. Bu kara kutuyu kullanarak ne kadar avantaj elde edebiliriz?n $S$$n$$\sqrt n$

Örneğin , kara kutuya yalnızca çağrıları olan numaraları sıralayabilir miyiz ? Bulduğum en iyi algoritma kara kutuya çağrı kullanıyor . Ama daha da geliştiremedim. İşte birleştirme-sıralama benzer benim algoritma:$O(\sqrt n)$$n$

İlk bölüm listesi içine listeleri Yaklaşık ile boyutu. Ardından bu listeleri sıralamak için kara kutuya çağrılarını kullanın. Son olarak, kara kutuyu kullanarak sıralanan listeleri birleştirin:$S$ s1,s2,. . . ,s$\sqrt n$$s_1, s_2, ..., s_{\sqrt n}$$\sqrt n$$\sqrt n$

Listelerin en küçük elemanlarını yeni bir listeye , sonra sıralamak için kara kutuyu çağırın. Numara (birinci ve en küçük elemanına itibari ) en küçük bir sayı olacaktır . Çıktı listesinin ilk yerine koyabiliriz. Eleman varsayarsak dan seçildi , biz yerine sıralama listesi ikinci en küçük eleman ile ve yine ikinci en küçük üyesi hesaplamak için üzerine siyah kutuyu çalıştırmak . Tüm elemanlar sıralanana kadar devam ediyoruz. Bu bölüm için toplam kara kutu çağrısı sayısıL [ 1 ] L S s j L [ 1 ] s j S n - $L$$L[1]$$L$$S$
$s_j$$L[1]$$s_j$$S$
$n - \sqrt n$. Dolayısıyla toplam çağrı sayısı olacaktır .$n$

Öte yandan, sıralama için gereken sayı karşılaştırmaları alt sınırını kullanarak bir alt sınır elde edebilmemiz gerekir gibi görünüyor: Kara kutuyu kullanarak uygulayabiliriz. karşılaştırmaları. Kara kutuya çağrıları ile ve doğrusal zamanda birleştirerek sorunu çözebilirsek, gerçek sayıyı imkansız olan karşılaştırmalarıyla sıralayabiliriz .o($\sqrt n \lg \sqrt n = \frac{1}{2} \sqrt n \lg n$no(nlgn$o(\sqrt n)$$n$$o(n \lg n)$

Sanırım ın kara kutuya yapılan çağrıların sayısı için bir alt sınır olduğunu kanıtlayabiliriz , çünkü kara kutuda kullanılan birçok karşılaştırma paylaşılacak ve bu nedenle argümanımızda tekrar sayılacaktı.$\Omega(n)$

GÜNCELLEME: Diğer gönderilerin önerdiği gibi, de elde edilebilir.$\sqrt n \lg n$

Kara kutuya çağrıları ile sıralama yapmak mümkündür ve karşılaştırma yoktur.$O(\sqrt n\log n)$

İlk olarak, aşağıdaki dengeli bölümleme sorununu göz önünde bulundurun: verilen elemanları (burada ), bunları iki gruba , en küçük boyut en az , birinci gruptaki tüm elemanlar ikinci gruptaki tüm elemanlardan daha küçüktür. Bu , kara kutuya çağrıları ile yapılabilir. (Bunu daha sonra açıklayacağım.) Sonra bu bölümleme algoritmasıyla quicksort kullanın:A [ 1 .. m ] $m$$A[1..m]$$\sqrt n \le m \le n$$m/4$$O(m/\sqrt n)$

def qsort(A[1..m]):
   if m < sqrt(n): sort A with one call to the black box
   else:
     Partition A[1..m] into two groups as described above.
     Recursively qsort the first group.
     Recursively qsort the second group.

Her bir bölme aşamasını varsayarsak alır kara kutuya aramalar yukarıda algoritması, belirli bir giriş yapacak kara kutuya aramaları çünkü özyineleme ağacının derinliği ve ağacın her düzeyi kara kutuya toplam çağrısına sahiptir.$O(m/\sqrt n)$$A[1..n]$$O(\sqrt n\log n)$$O(\log n)$$O(n/\sqrt n) = O(\sqrt n)$

Bölümleme adımını şu şekilde yapın:

def partition(A[1..m]):  (where sqrt(n) <= m <= n)
   Divide A into m/sqrt(n) groups of size sqrt(n) each.
   Sort each group with one call to the black box per group.
   Sort the medians of the groups with one call to the black box.
   (Note the number of groups is less than sqrt(n), because m <= n.)
   Let X be the median of the medians.
   Partition all m elements around X, using the black box as follows:
      For each group G, let Y be its median:
        Call the black box once on (G - {Y}) union {X}.
        (This gives enough information to order all elts w.r.t. X.)

Bence sorunuz 1990'dan itibaren Beigel ve Gill'in " k-sıralayıcıyı kullanarak n nesneyi sıralama " ve makalenin özeti her şeyi söylüyor:

Bir k sıralayıcı, k nesnelerini birim zamanda sıralayan bir cihazdır. Bir k sıralayıcı kullanan bir algoritmanın karmaşıklığı, k sıralayıcının uygulama sayısı olarak tanımlanır. Bu ölçümde, n nesneyi sıralamanın karmaşıklığı n log n arasındadır. ve4ngünlüğü$\frac{n \log n}{k \log k}$ , n ve k cinsinden birinci dereceden terimlere kadar.$\frac{4n \log n}{k \log k}$

Sıralamak mümkündür obliviously ile her biri orijinal girişin bitişik bir alt dizisine uygulanan kara kutuyu çağırır. Algoritma kara kutu çağrıları dışında giriş verilerine asla dokunmaz. Özellikle, aynı kara kutu çağrıları dizisi, gerçek giriş verisi değil, dolayısıylan'ninbir fonksiyonudur(dolayısıyla "kayıtsız").$O(\sqrt{n}\log n)$$n$

İşte boyutu Altdizilim sıralar bir kara kutu kullanan basit bir algoritma bir kroki olduğu yerine sadece $k$ . Kara kutuya yapılan toplam arama sayısı kabaca2(n/k)2'dir. Notasyonel basitlik için,k'ninçift ​​olduğunu ve2n/k'nıntek bir tam sayıolduğunu varsayalım.$\sqrt{n}$$2(n/k)^2$$k$$2n/k$

BlockBubbleSort(X[0..n-1], k):
   m = floor(n/k)
   for i = 1 to m
      for j = 0 to m-1
          BlackBoxSort(X[j*k .. (j+1)*k-1])
      for j = 0 to m-1
          BlackBoxSort(X[j*k + k/2 .. (j+1)*k + k/2 - 1])

İşte ve k = 4 için algoritmanın bir diyagramı . Veriler soldan sağa hareket eder; her kutu bir k- ithalatçısıdır.$n=18$$k=4$$k$

Şekilde umulduğu gibi, bu algoritma giriş dizisini boyutundaki parçalara böler ve sonra karşılaştırma-değiştirme işlemi yerine k- verenini kullanarak kabarcıklara kabarcıklar uygular . Doğruluk, ağın 0 ve 1'lerin herhangi bir dizisini doğru bir şekilde sıraladığını gözlemleyerek izler .$k/2$$k$

$O((n/k)^2)$$O((n/k)\log^2(n/k)) = O(\sqrt{n}\log^2 n)$$O((n/k)\log (n/k)) = O(\sqrt{n}\log n)$