Ters 3-SAT Hakkında

Bağlam : Kavvadias ve Sideri Verilen: Ters 3-SAT problemi coNP Komple olduğunu göstermiştir üzerinde bir dizi model bu 3 CNF formülü böyle olduğunu, değişkenler modellerinin onun tam kümesidir? içindeki tüm modellerden memnun olan 3 maddenin tümünün birleşimi olan hemen bir aday formül ortaya çıkar .$\phi$$n$$\phi$$\phi$

İfade ettiği tüm 3 maddeyi içerdiğinden, bu aday formül kolayca çözünürlük altında 3 kapalı olan eşdeğer bir formül dönüştürülebilir - Bir formülün 3 kapanışı, çözünürlük altındaki kapanışının alt kümesidir. sadece 3 veya daha küçük boyutlu maddeler. Bir madde - tüm olası çözücülere formülüne sahip bir madde ile sınıflandırılır halinde bir CNF formül çözünürlüğü altında kapatılır bir madde ile sınıflandırılır olan tüm sabitleri ise olan .$F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

Verilen , bu şekilde değişken bir kısmının atama herhangi bir model bir alt kümesi değildir .$I$$I$$\phi$

Çağrı , uygulanarak indüklenen formül için : olarak değerlendirilen bir hazır içeren herhangi bir madde altında formülünün silinir ve test ettiğimiz değişmezleri altında silinir tüm maddelerden.$F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

olası tüm 3 sınırlı çözünürlükle (çözücünün ve işlenenlerin en fazla 3 değişmez değere sahip olduğu) ve alt gösterimlerden türetilen formül arayın .$G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

Soru : çözüm altında 3 kapalı mı?$G_{\phi|I}$

Cevap: Evet (bile bazı modelinin bir alt kümesidir )$I$$\phi$

Let kaynaklanıyor hükümlerin kümesi tüm olası 3-sınırlı kararları ve subsumptions (tarafından taşımaktadır 3-sınırlı kapatma ). tarafından ima edilen bir cümle verildiğinde, maddeleri anlamına gelen en az bir alt kümesi vardır . Böyle bir adını .$R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

Let aşağıdaki özelliği: hepsi için ima öyle ki ,$P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$ , , cümle tarafından$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

Burada nüks başlıyor. Verilen ima öyle ki , yani 3-kapanması .$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. $k=1$ . Eğer daha sonra ( kapsadığını ) ve tarafından sahiplenildi edilir (herhangi bir maddesi olduğunu not bazı maddesi ile sahiplenildi edilir ). Böylece .$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. Varsayalım için . Varsa, , (ve 1 boyutunda başka bir yok , ve ) diyelim ki burada$P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$$\alpha ,\beta ,\gamma$ ile ayarlanmamış değişmezdir ve L ı değişmez bir alt kümesi olup altında 0 değerlendirmek I ( L I ≠ ∅ ) , yani c | I = ( α β γ $I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$, mutlaka farklı değildir. $\alpha ,\beta ,\gamma$

3. Bir madde kaldırma den R c , öyle ki | d i | I | < | d i | ≤ 3 , başka bir deyişle, bu şekilde de d i bazı hazır bilgi içeren L I (en az bir adet bu tür bir madde olduğu R c yana L I ≠ , ∅ ve) | d i | I | ≤ 2 .$d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. Geri kalan resim boyutu olan ≤ k . Belirli maddesi ise C ' = ( a p , y L ' I ) ile ima R c ∖ d i (burada L ' bir değişmez bir alt kümesi altında 0 değerlendirmektir I o) | c ′ | I | = 3 ve ∃ R c ′ = R c ∖ $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$ ki | R c ′ | ≤k. ByP(k), c ' | I =(αβγ)daha sonra∈ G ϕ | I , indükleyicip(k+1)içinc.$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. Eğer içeren ˉ a veya ˉ p veya ˉ , y sonra d i | I [Bazı maddelerdeki subsuming] ima yararsız c . Daha sonra R c ∖ d i , daha önce gösterildiği gibi P ( k + l ) indükleyerek c'yi ima eder .$d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. Eğer kapsadığını c | Daha sonra P ( k + 1 ) c için tatmin olur .$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. Eğer c yerine koymaz | I ve ˉ α veya ˉ β veya ˉ γ içermiyorsa ya d i | I = ( x ) veya d i | I = ( a x ) veya d i | I = ( x y ) , burada x ve y ∉ { α β $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ ve I ve bir ∈ { α β γ } tarafından ayarlanmadı.$\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • Eğer o zaman R c ∖ d i ( ˉ x α β γ L I ) anlamına gelir ( belirli bir C maddesini ima etmenin, C'yi dolduran bir madde ima etmek anlamına geldiğini hatırlayın ). D i ile herhangi bir çözünürlük beri | I = ( x ) işlenen diğer işlenenden ˉ x'i kaldırdığı için R c ∖ d $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$içeren (Beri R c ∖ d ı ⊆ R | ı 3-sınırlı kapatma olan F cp ∪ F cp | ı ). Daha sonra R c ∖ d i , ( 4 ) ' de gösterildiği gibi P ( k + 1 ) indükleyerek ( α β γ L I ) anlamına gelir .$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Eğer sonra R c ∖ d i ( ˉ x α β γ L I ) anlamına gelir . Değiştir ˉ x tarafından bir her olası yan tümcesinde R c ∖ d ı (yeni fıkra bazı fıkra tarafından sahiplenildi ise R | ben yerine kuşatıcı maddesini tutmak Neyse, yerini fıkra içindedir. R | I ). İsim R $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$ (elde edilen grubu R, C , d i ⊆ R | I ). Daha sonra R, C , d i ifade eder(ap, y L I )indükleyen,P(k+1)yukarıdaki gibi.$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Eğer , sonra R, C ∖ d i ifade eder ( ˉ X a p , y L I ) ve ( ˉ y a p , y L I ) . Yerine ˉ X ile y her bir muhtemel maddesinde R c ∖ d i (yukarıdaki gibi, yeni bir madde bazı madde ile sınıflandırılır durumunda R |$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$yerine toplam maddesini saklayın). Adı elde edilen dizi ( R, C , d , i ⊆ R | I ). Daha sonra R, C , d i ifade eder ( y a p , y L I ) . Bu da gelmektedir yana ( ˉ y a p , y L I ) daha sonra çözücü anlamına gelir ( a p , y L I ) , indükleyici $R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$ .$P(k+1)$

Bu nüksle, herhangi bir madde F ϕ 3-kapanışı | Ben bazı maddesi içinde sınıflandırılır edilir ∈ G cp | Ben (diğer yol da geçerlidir). Sonra G ϕ | Ben F ϕ 3-kapanışına karşılık gelir | Ben .$\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

$F_\phi$$F_1$

$F_\phi$