Kanıtlar in

Razborov'un yaptığı bir konuşmada , merak uyandırıcı küçük bir açıklama yayınlandı.

FACTORING zorsa, Fermat'ın küçük teoremi kanıtlanamaz $S_{2}^{1}$ .

nedir $S_{2}^{1}$ ve mevcut kanıtlar neden almamaktadır $S_{2}^{1}$ ?

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— T ....
kaynak

$S^1_2$ sınırlı bir aritmetik teorisi, yaniPeano aritmetiğininindüksiyon şemasını ciddi şekilde kısıtlayarak elde edilen zayıf bir aksiyomatik teoridir. Onun Sam Buss tarafından tanımlanan teorilerden biri olantez, diğer genel referanslar Bölüm HÁJEK ait V ve Pudlac en şunlardırbirinci dereceden aritmetik Metamatematik, Krajicek yönettiği “Sınırlı aritmetik, önermeler mantığı ve karmaşıklık teorisi” nin Buss Bölüm IIEl Kitabı kanıt teorisive Cook ve Nguyen'inmantıksal karmaşıklığın temelleri.

yalnızca polinom-zaman tahminleri için tümevarım yapan bir aritmetik teorisi olarak düşünebilirsiniz . Özellikle, teori üstellemenin tam bir fonksiyon olduğunu kanıtlamaz, teori sadece polinom büyüklüğünde nesnelerin varlığını kanıtlayabilir (gevşekçe). $S^1_2$

Fermat Little Teoreminin bilinen tüm kanıtları, üstel boyutlu nesneleri kullanır veya sınırlı kümelerin boyutlarının tam olarak sayılmasına dayanır (bu, muhtemelen sınırlı bir formülle, yani Toda'nın teoremi nedeniyle polinom hiyerarşisinde tanımlanamaz).

FLT, ve faktoring sonuçları Krajíček ve Pudlák'ın makalesinden kaynaklanıyor ve EF için kriptografik varsayımların bazı sonuçları ve bence oldukça yanıltıcı. Ne Krajicek ve Pudlac kanıtlamak faktoring (aslında, IIRC bunun yerine factoring RSA için devlet, ama artık çok faktoring için de benzer argüman çalışmaları olduğu bilinmektedir) randomize polinom kez sert olması durumunda ise, o zaman deyimi ispat edemez her sayı asal sayı aralarında asal sonlu üs modülo sahiptir olduğunu, vardır öyle $S^1_2$ $S^1_2$ $S^1_2$ $a$ $p$ $p$ $k$ $a^k\equiv1\pmod p$ .

Bunun FLT'nin bir sonucu olduğu doğrudur, ancak aslında FLT'den çok, çok daha zayıf bir ifadedir. Özellikle, bu ifade, sınırlı aritmetik alt sisteminde ( daha güçlü olsa da) kanıtlanabilir olduğu bilinen zayıf güvercin deliği prensibinden . Bu nedenle, Krajicek ve Pudlak savı gösteren faktoring kolaydır sürece zayıf pigeonhole prensibi ispat değildir ve bu gibi bir koşullu ayrılmasını sağlar olarak sınırlı aritmetik hiyerarşisinin bir seviyesinden, ki . $S^1_2$ $S^1_2$ $S^1_2$ $T^2_2$

Buna karşılık, gerçek FLT tam sınırlı aritmetik bile kanıtlanmış , ancak bu kriptografi ile ilgili değildir. Habil gruplarımda ve zayıf aritmetikte kuadratik kalıntılarda ilgili bazı tartışmaları bulabilirsiniz . $S_2=T_2$

— Emil Jeřábek
kaynak

Merhaba Emil: Cevabın tamamı için teşekkür ederim. Tekrar sorduğum için affedin. "Fermat Little Theorem'in bilinen tüm ispatları üstel boyutlu nesneleri kullanır ya da sınırlı setlerin boyutlarının tam olarak sayımına dayanır (bu muhtemelen Toda nedeniyle sınırlı bir formülle, yani polinom hiyerarşisinde tanımlanamaz) teoremi)." Ama flt modulo ve kendisi üstel bir nesne mi?

a^{k}

$a^{k}$

p

$p$

a^{k}

$a^{k}$

— T ....

Bu doğru, ama Fermat'ın küçük teoremini formüle etmek için gerçekten ihtiyacınız yok . İkili olarak , ve verildiğinde , tekrarlanan kareleme ile polinom zamanında hesaplayabilirsiniz ve bahsettiğim sonuçlar bu polinom-zaman fonksiyonunu kullanarak bir FLT formülasyonu ile ilgilidir.

a^{k}

$a^k$

a

$a$

k

$k$

p

$p$

a^{k} mod p

$a^k\bmod p$

— Emil Jeřábek

Faktöryel varsayım benzer ürünler söylüyor olmamalıdır özellikle bilgisayar, verimli hesaplanabilir olmak faktoring kadar zor olduğunu bu yardım pek olası değildir, böylece. Ürün bir polinom-zaman algoritması ile hesaplanabilse ve resmileştirilebilse bile, bu tür üstel olarak uzun ürünlerin çok (yani wiki ispatında kullanılan ana özellik).

m! mod n

$m!\bmod n$

n

$n$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Emil Jeřábek

Hayır, yeterli olmaz. Değişebilirlik size yalnızca iki terimin ürününe izin verilebileceğini söyler. Daha uzun ürünler için, yalnızca orijinal üründe kullanılan modüler aritmetik sekanslardan ( gibi) daha karmaşık bir yapıya sahip ürünleri içermesi gereken, tümevarım yoluyla bir tür argüman ayarlamanız gerekir. veya bu tür bir şey). Hayal gücünüze yardımcı oluyorsa, ürünler sonlu görünmekle birlikte , standart olmayan bir aritmetik modelinde dizin seti gerçekten sonsuzdur ...

\prod_{i = 1}^{p - 1} {\begin{cases} i a & if (i a mod p) < k \\ 1 & otherwise \end{cases}

$\prod_{i=1}^{p-1}\begin{cases}ia&\text{if }(ia\bmod p)<k\\1&\text{otherwise}\end{cases}$

[1, p - 1]

$[1,p-1]$

— Emil Jeřábek

... ve iyi sıralanmış bir sıra bile değil ( bir kopyasını içeriyor ).

Q

$\mathbb Q$

— Emil Jeřábek