Minimum kesimi en üst düzeye çıkarma kapasitesinin artırılması

Tüm kenarları birim kapasitesine sahip bir grafik düşünün. Polinom zamanında min kesimi bulunabilir.

Herhangi bir kenarının kapasitesini sonsuza kadar artırmaya izin verdiğimi varsayalım (kenarların her iki yanındaki düğümleri birleştirmeye eşdeğer). Minimum kesimi en üst düzeye çıkarmak için optimal bir kenar seti (kapasitesi sonsuza kadar yükseltilecek) seçmenin en iyi yolu nedir ?$k$$k$

Teorem. Görevdeki problem NP-zordur.

"Posttaki problem" ile, yani, değiştirilmiş grafikte minimum kesimi en üst düzeye çıkarmak için kapasitelerini arttırmak üzere kenarlarını seçmek için bir ve tamsayısı verildi .$G=(V,E)$$k$$k$

Fikir Max Cut'dan azaltmak. Kabaca, belirli bir grafiği yalnızca ve kenarların kapasitelerini artırabilirseniz , sonuçta elde edilen grafiğin minimum kesim boyutuna ( sahip olması durumunda maksimum kesim boyutuna ( sahiptir . Fikir şu ki, kenarları sonuçta ortaya çıkan grafiği sadece bir sonlu kapasite kesimine zorlamak için yeterlidir ve seçtiğiniz herhangi bir kesim olabilir.$G=(V,E)$$s$$n-2$$s$$n-2$

Bu fikir işe yaramıyor çünkü belirli bir kesim elde etmek için , her birinin bağlanması için ve tarafından indüklenen alt bölümlere ihtiyacınız var . Ancak uygun bir gadget ile bu sorunu çözebilirsiniz.$(C, V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

Kanıt. Bağlı bir grafik verildiğinde, ve tarafından tetiklenen alt bölümlerin her biri bağlanacak şekilde kesilmiş bir bağlı kesim . Maksimum Bağlı Kesimi , kesik kesişen kenar sayısını en üst düzeye çıkararak bağlı bir kesim (belirli bir bağlı grafikte) bulma sorunu olarak tanımlayın .$G=(V,E)$$(C,V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

Max Connected Cut'un yazıdaki soruna azaldığını gösteriyoruz. Sonra ağırlıksız Max Cut değerinin Max Connected Cut değerine düştüğünü gösteriyoruz.

Lemma 1. Max Connected Cut, poli zaman içinde direkte tanımlanan probleme indirgenir.

Kanıt. Max-bağlantılı kesim örneği göz önüne alındığında , izin . Lemmayı kanıtlamak için aşağıdakileri kanıtlıyoruz:$G=(V,E)$$k=|V|-2$

İstem 1: Herhangi bir , kapasitesinde en azından bağlı bir kesim vardır , IFF , sonuçta grafiğin min olması için kenar kapasitelerini sonsuza çıkarmak mümkündür. kesim kapasitesi en az .$s>0$$(C,V\setminus C)$$G$$s$$k$$G$$s$

SADECE EĞER: En azından kapasitede bağlı bir kesim olduğunu varsayalım . ve sırasıyla ve kapsayan alt ağaçlar izin verin , ardından ve kenar kapasitelerini . ( .) Grafikte kalan sonlu kapasite kesiminin , en az kapasiteli , sonuçta ortaya çıkan grafik en az minimum kesme kapasitesine sahiptir .$(C,V\setminus C)$$s$$T_1$$T_2$$C$$V\setminus C$$T_1$$T_2$$|T_1|+|T_2|=|C|-1 + |V\setminus C|-1 = |V|-2 = k$$(C, V\setminus C)$$s$$s$

EĞER: Elde edilen grafiğin en az minimum kesme kapasitesine sahip olması için kenar kapasitelerini yükseltmenin mümkün olduğunu varsayın . Tarafından oluşturulan alt grafiğini düşünün yükseltilmiş kenarları. Genelliği kaybetmeden, bu alt paragrafın asiklik olduğunu varsayın. (Aksi takdirde, bir kenarı yükseltilmiş kenarlardan oluşan bir döngüden "sökün" ve bunun yerine alt grafikten bağlı iki bileşeni birleştiren yükseltilmemiş bir kenarı kaldırın. Bu, yalnızca sonuçtaki grafikte minimum kesimi artırır.) , yükseltilmiş kenarların alt grafiğinde ve gibi iki bağlı bileşen bulunur, bu nedenle sonuçta elde edilen grafikte sonlu tek kesme kapasitesi$k$$G$$s$$k$$k=n-2$$C$$V\setminus C$$(C,V\setminus C)$. Ve bu kesim orijinal grafikte olduğu gibi en az kapasiteye sahiptir .$s$

Bu iddiayı (ve lemmayı) kanıtlıyor. (QED)

Tamlık için, Max Connected Cut'ın ağırlıksız Max Cut'dan indirgeyerek NP-komple olduğunu gösteriyoruz.

Lemma 2. Ağırlıksız Max Cut, poli süresi içinde Max Connected Cut'a düşer .

Kanıt. Herhangi bir tamsayısı için , her biri uzunluğunda , her bir tepe noktasından her bir tepe noktasına kadar kenarları olan iki ve yolundan oluşacak grafiğini tanımlayın . ( bir tarafta , diğer tarafta maksimum kesimin boyutuna sahip olduğunu ve başka hiçbir kesimin boyutundan daha büyük olmadığını doğrulamak için okuyucuya bir egzersiz olarak bırakıyoruz. .$N\ge 1$$P(N)$$A$$B$$N$$A$$B$$P(N)$$A$$B$$N^2$$N^2-N/100$

İşte azalma. Ağırlıksız herhangi bir Max Cut örneği verildiğinde , aşağıdaki gibi bir grafiği oluşturun . Let. Let . yukarıda tanımlanan grafiğini ekleyin (iki ve yolu ile ). Her noktasından , bir tepe noktasına bir kenar ve bir tepe noktasına bir kenar ekler . Bu azalmayı tanımlar. Bitirmek için doğru olduğunu kanıtlıyoruz:$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$n=|V|$$N = 100(n^2 + 2n)$$G$$P(N)$$A$$B$$v\in V$$A$$B$

İddia 2: herhangi biri için , bir kesik vardır içinde en az kapasite , IFF, kendisine bağlı bir kesim mevcuttur , en az bir boyutu .$s\ge 0$$(C,V\setminus C)$$G$$s$$G'$$s+N^2+n$

YALNIZCA: herhangi bir kesim göz önüne alındığında içinde en az kapasite , bağlı kesme dikkate içinde . Bu bağlı kesik , en azından kesimler kenarlarda için , artı olan kenarlar, için , artı ve kenarlarda için .$(C,V\setminus C)$$G$$s$$(A\cup C, B\cup V\setminus C)$$G'$$G'$$s$$C$$V\setminus C$$N^2$$A$$B$$n$$2n$$V$$A\cup B$

EĞER: En azından boyutunda boyutunda bağlı bir kesim olduğunu varsayalım . ve kesimin karşı tarafındadır. (Aksi taktirde, ikinci büyük kesme itibaren en keser kenarlar , kenarları kesme toplam sayısı en fazla olduğu ) Let. vertices ifade ile kesme kenarında . Daha sonra orada den kesim kenarları için , ve gelen için$G'$$s+N^2+n$$A$$B$$P(N)$$N^2-N/100$$P(N)$$N^2-N/100 + |E| + 2|V| \le N^2 - N/100 + n^2 + 2n = N^2$$C$$V$$A$$N^2$$A$$B$$n$$V$$A\cup B$ , yani en az olmalıdır gelen için .$s$$C$$V\setminus C$

Bu iddiayı ve Lemma 2'yi kanıtlıyor. (QED)

Lemmas 1 ve 2'ye göre, ağırlıksız Max Cut NP-zor olduğu için, yazıdaki problem de NP-zor.