Matris sertliği ve düşük sertliğe sahip matrislerin kullanımı

Kabaca değerde bir matris ise aşağı onun rank getirmek için, sert olduğu söylenir $n$ ,bazıiçin girişlerininen azdeğerideğiştirilmelidir. $\frac{n}{2}$ $n^{1+\epsilon}$ $\epsilon > 0$

Bir matrisi sertse, ( büyüklüğünde bir vektörü ) hesaplayan en küçük düz çizgi programı ya süper doğrusal boyuttadır ya da süper logaritmik derinliğe sahiptir. $n \times n$ $A$ $Ax$ $x$ $n$

Yukarıdaki ifadeyle bir tersi var mı?

Başka bir deyişle, TCS'de tam dereceli önemsiz ve belirgin olmayan düşük sertlik matrislerinin kullanımları var mı?

Daha düşük dereceli matrisler için sertlik kavramı var mı ( sabiti için)? $\frac{n}{c}$ $c$

cc.complexity-theory

— T ....
kaynak

A x

$A x$

n \times n

$n \times n$

A

$A$

A = B + C

$A=B+C$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

C

$C$

A

$A$

belki de ilk önce belli ki düşük sertliğe sahip matris örnekleri istemek iyidir

— Sasho Nikolov

@vzn tersi "düşük sertlikli matrisler doğrusal küçük devreleri var yapmak" olduğunu belirtmek için başka bir yoludur. cevabınız tam tersi yönde (daha az rijit -> daha verimli sıralama uygulamaları hakkında bir kelime değil), yani -1

— Sasho Nikolov

@MCH İyi bir nokta. Önemsiz olmaktan daha iyi ne olabilir? İlginç bir noktaya değiniyorsun soruyu biraz değiştireceğim.

— T ....

-3

Sorunun daha fazla netleştirilmemesi nedeniyle, bir cevap denemesi / taslağı vardır. matris katılığı, TCS / karmaşıklık teorisinde devre alt sınırları, [1] ve dolayısıyla karmaşıklık sınıfı ayrımları ve kodlama teorisi [2] ve diğer alanları içeren temel sorularla derin bağlantılara sahiptir. [5] hoş bir slayt anketidir.

matrislerin rijitliğine referansla "düşük" ve "yüksek" terimleri, tam olarak tanımlanmış bir teknik anlamda değil, gayri resmi olarak kullanılır. [Friedman “güçlü” sağlamlık tanımlamasına rağmen. [6]] rasgele matrislerin yüksek rijiditeye sahip oldukları bilinmektedir, ancak temel olarak, bu alanda 3.5 yıllık bir açık problemi "belirgin şekilde yüksek" rijitliğe sahip herhangi bir matrisi açıkça inşa etmek için bilinmektedir .

soru "önemsiz" veya "açık olmayan" öznel terimleri daha fazla tanımlamaz / netleştirmez ve orada biraz özgürlük kazanır.

bu alanda , kodlama teorisinde ve başka yerlerde çeşitli kullanımları / uygulamaları olan Hadamard matrislerinin sertliğine bakarak bir araştırma hattı vardır .

yüksek derecede sağlam bir sonuç elde etmenin en azından "karmaşıklık teorisinde yeni önemsiz sonuçlara" yol açmanın üstünlüğünü aşacağını söylemek adil görünmektedir, ancak Hadamard matrisleri üzerinde en iyi bilinen sınırlar yeterli değildir. [3] ancak bu, sınırlı bir "düşük" sertliğe sahip olduklarını kesin olarak kanıtlamaz. temel olarak Lokam tarafından düşünülen Vandermonde matrisleri ile [aynı zamanda kodlama teorisindeki uygulamalar] aynı hikaye . [4]

yani söylenebilecek her şeyi özetlemek gerekirse, Hadamard / Vandermonde matrisleri de dahil olmak üzere bazı matrislerde "zayıf düşük sertlik sınırları" kanıtlanmıştır.

alanda yayımlanmış herhangi bir sayısal deney, tahmin veya algoritma da görünmemektedir.

[1] Stasys Jukna tarafından Boole İşlev Karmaşıklığı, 2011, sn 12.8 "sert matrisler büyük devreler gerektirir"

[2] Matris katılığı ve yerel olarak kendi kendine düzeltilebilir kodlar üzerinde Zeev Dvir

[3] Hadamard matrislerinin zayıflığı Kashin / Razborov'un geliştirilmiş alt sınırları

[4] Vandermonde Matrisler Lokam'ın Sertliği Üzerine

[5] Mehdi Cheraghchi matris sertlik konuşması

[6] J. Friedman. Matris katılığı hakkında bir not. Combinatorica, 13 (2); 235-239, 1993

— vzn
kaynak