Verimli doğruluk ve verimlilik kanıtı olmadan yapısal olarak verimli algoritmalar

Verimli algoritmaların doğal örneklerini arıyorum (yani polinom zamanında) st

bunların doğru ve verimlilik (örneğin yapıcı ispat edilebilir $PRA$ veya $HA$ ), ancak
sadece etkili kavramları kullanan hiçbir kanıt bilinmemektedir (yani veya doğruluklarını ve verimliliklerini nasıl kanıtlayacağımızı bilmiyoruz ). $TV^0$ $S^1_2$

Yapay örnekleri kendim yapabilirim. Ancak ilginç doğal örnekler istiyorum, yani sadece bu tür soruları cevaplamak için yaratılmamış, kendi iyiliği için incelenen algoritmalar.

— Kaveh
kaynak

Belki bir algoritmanın kolay olduğu otomata teorisinden bir şey, ama işe yaradığını göstermek için bir şeyin veya başka bir şeyin tüm alt kümelerini dikkate alması gerekir?

— Andrej Bauer

Polinom-zaman önceliklilik kontrolüne ne dersiniz? Bu kanıt muhtemelen

yapışması zor olacak kadar karmaşık mı?

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Andrej Bauer

@Neel, aslında Emil'in tezi " Zayıf güvercin deliği prensibi ve rastgele hesaplama " olasılık algoritmalarını resmileştirmekle ilgilidir. Bunlardan bazıları formalizing için gerekli bir ana aksiyomu bir parçası değildir yaklaşık sayım gibi görünüyor

ya da

. Bence

ile deterministik polytime vakasına sadık kalmak daha kolay olabilir .

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Kaveh

Not: Algoritmaların doğruluğunun / etkinliğinin bu teorilerde kanıtlanmadığını veya en azından onlarda kanıtlanamayacağına inanılan ifadelere eşdeğer olduğunu kanıtlayabilirsek daha ilginç olurdu. Ancak bunu istemek şu anda bildiklerimizle muhtemelen çok fazla.

— Kaveh

@Neel, bir olayın kesin olasılığını gerçekten bilmeniz gerekmediğinden, ilgili olasılıkların çoğu birinci dereceden sistemlerde yapılabilir, genellikle bu olasılığı sadece belirli rasyonel sayılarla karşılaştırmanız gerekir.

— François G. Dorais

Yanıtlar:

Bu Andrej'in cevabı ile aynı fikir ama daha fazla ayrıntı ile.

Krajicek ve Pudlak [ LNCS 960, 1995, s. 210-220 ] göstermiştir ki, eğer a, -özelliği bu tanımlar, standart modelinde asal ve $P(x)$ $\Sigma^b_1$

S_{2}^{1} ⊢ \neg P (x) \to (\exists y_{1}, y_{2}) (1 < y_{1}, y_{2} < x \land x = y_{1} y_{2})

$S^1_2 \vdash \lnot P(x) \to (\exists y_1,y_2)(1 < y_1, y_2 < x \land x = y_1y_2)$ bir polinom zaman faktörü algoritması vardır. Öncelik testi için herhangi bir NP algoritması temelde böyle bir

formülü verdiğinden, bu bir grup örnek verir . Özellikle, AKS öncelik testi böyle bir formül verir (

dilinde uygun şekilde yeniden düzenlendiğinde ). Krajicek ve Pudlak'ın makalesi bu türden kriptografi ile ilgili daha fazla örnek veriyor, ancak AKS ve ilgili ilerlemelerin birkaç yıl öncesine dayanıyor.

Σ_{1}^{b}

$\Sigma^b_1$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— François G. Dorais
kaynak

$\mathrm{TC}^0$ $\mathit{VTC}^0$

$\mathit{TV}^0$ $\mathit{VTC}^0$ $\mathrm{TC}^0$

$\left(\frac an\right)$

$p$ $\left(\frac ap\right)=1$ $a$ $p$

$S^1_2$

Başka bir örnek sınıfı, polinomlar için indirgenemezlik testi ve çarpanlara ayırma algoritmaları (öncelikle sonlu alanlar ve rasyoneller üzerinden) ile verilir. Bunlar her zaman Fermat'ın küçük teoremine veya genellemelerine (diğerleri arasında) dayanmaktadır ve bu nedenle sınırlı bir aritmetik teorisinde resmileştirilebileceği bilinmemektedir. Tipik olarak, bu algoritmalar randomize edilir, ancak deterministik polinom-zaman örnekleri için, kişi Rabin'in indirgenemezlik testini veya Tonelli-Shanks kare kök algoritmasını alabilir (girişin bir parçası olarak ikinci dereceden bir karşılık gerekmeyecek şekilde formüle edilmiştir).

— Emil Jeřábek Monica'yı destekliyor
kaynak

AKS asallık testi Vikipedi inanılan edilecekse iyi aday gibi görünüyor.

Ancak, böyle bir örneğin bulunması zor olurdu. Mevcut kanıtlar, sınırlı aritmetikte açıkça yapılmayacakları şekilde ifade edilecektir, ancak büyük olasılıkla sınırlı aritmetiğe daha fazla veya daha az çaba ile "uyarlanabilir" olacaktır (genellikle daha fazla).

— Andrej Bauer
kaynak

Gerçekten de Emil Jerabek, Miller-Rabin testinin doğruluğunun bile

S_{2}^{1}

$S^1_2$ standart çökmeyen varsayımlar altında. [ Çift zayıf güvercin deliği ilkesi, Boole karmaşıklığı ve derandomizasyon , APAL 129 (2004), 1-37]

— François G. Dorais

Aslında Emil'in iddiası, her asalın Fermat'ın Küçük Teoremini karşıladığı gerçeğinin

S_{2}^{1}

$S^1_2$ . Aynı akıl yürütme burada da geçerlidir, standart varsayımlar altında,

S_{2}^{1}

$S^1_2$ her asal AKS sınavını geçiyor.

— François G. Dorais

Krajicek ve Pudlak'ın

— François G. Dorais

@ François, neden cevap göndermiyorsun? :)

— Kaveh

Yani, şanslı bir tahminde bulunmak için en yüksek oy sayımı elde ederken, diğerleri aslında neler olduğunu biliyor. Matematik tıpkı MTV gibidir.

— Andrej Bauer