Kartezyen kapalı kategorisindeki oklarla üstel nesneler arasındaki fark nedir?

Bir Kartezyen Kapalı Kategorisinde ( CCC ), yazılı, üstel nesneler vardır . Bir CCC basitçe yazılmış -calculus'un bir modeli olarak kabul edildiğinde , gibi üssel bir nesne , fonksiyon alanını tipinden tipine kadar karakterize eder . Üstel bir nesne, adlı bir okla ve şu adı verilen bir okla elenir (maalesef denir $B^A$ $\lambda$ $B^A$ $A$ $B$ $curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$ $apply : C^B \times B \rightarrow C$ $eval$ kategori teorisi üzerine çoğu metinlerde). Buradaki sorularım: Üstel nesne oku arasında bir fark var mı? $C^B$ $B \rightarrow C$

type-theory lambda-calculus ct.category-theory

— gün
kaynak

Bir kategoride , üstel nesnedir , ancak tür teorisinde üstel tür olarak adlandırılabilir .

— Andrej Bauer

Bu araştırma düzeyinde bir soru değil. Cs değişimine mi geçtin?

— Andrea Asperti

Biri iç , diğeri dış .

Bir kategori nesnelerden ve morfizmlerden oluşur. Biz yazarken biz anlamına nesnesi bir morfizmanın olan nesnesi için . Bu tüm morfizimler toplayabilir için bir içine morfizimler grubu , "hom-grubu" olarak adlandırılır. Bu dizi değil bir nesne ziyade setleri kategorisinin bir nesne. $\mathcal{C}$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$ $\mathcal{C}$

Buna karşılık, üstel bir , bir nesnedir . Bu, " hom-setlerini nasıl düşündüğü" dür. Bu nedenle, , nesnelerinin sahip olduğu herhangi bir yapıya sahip olmalıdır. $B^A$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $B^A$ $\mathcal{C}$

Örnek olarak, topolojik uzayların kategorisini düşünelim. Öyleyse , - arasında sürekli bir harita ve tüm bu sürekli haritaların kümesidir. Fakat eğer varsa, topolojik bir alandır! Sen ispat edebiliriz noktaları vardır sürekli haritalar (ile bijective yazışmalarda) ile . Aslında, bu genel olarak geçerlidir: morfizmaları (ki bunlar " global noktalarıdır ") , çünkü morfizmleriyle bijective yazışmalardadırlar. $f : X \to Y$ $X$ $Y$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$ $Y^X$ $Y^X$ $X$ $Y$ $1 \to B^A$ $B^A$ $A \to B$

H o m (1, B^{A}) ≅ H o m (1 \times A, B) ≅ H o m (A, B) .

$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$

Bazen yazarken yerine özensiz oluruz . Aslında, çoğu zaman bu iki anlayışı ile eş anlamlı olan "Bu araçlarla bu yüzden, diğer gösterimini demek burada bu arada oh anlamına gelebilir bir morfizmanın olan için ." Örneğin, körleme morfizmi yazdığınızda gerçekten de yazmış olmalısınız. Bu yüzden burada kafayı karıştığı için kimseyi suçlayamayız. İç iç anlamda, dış ise dış kullanılır. $B^A$ $A \to B$ $f : A \to B$ $f$ $A$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

curry : C^{A \times B} \to {(C^{B})}^{A} .

$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$

\to

$\to$

Basitçe yazılan -calculus içinde çalışırsak, konuşabilmek için her şey içseldir. olarak yazılmış, " tipi " olan basit bir yazım kararına sahibiz . Çünkü burada bir türdür ve türler nesnelere karşılık gelir, o zaman herhangi bir üsteli ve okları içsel anlamda birbirine karıştırmamız gerekir. Öyleyse, -calculus'ta bir yazım kararı olarak anlarsak, bu durumda tüm oklar içseldir. aynı Umarım şimdi insanların neden kullandıkları açıktır. $\lambda$ $t$ $B$ $t : B$ $B$ $B$

curry : (A \times B \to C) \to (A \to C^{B})

$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$

λ

$\lambda$

curry : ((C^{B})^{A})^{C^{A \times B}} .

$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$

B^{A}

$B^A$ ve eş anlamlı olarak.

A \to B

$A \to B$

— Andrej Bauer
kaynak

Büyük cevabın için teşekkürler, gizemi tamamen ortadan kaldırmak.

— gün

Aslında! Harika bir açıklama!

— Uday Reddy

Peki hangisi iç, hangisi dış?

— CMCDragonkai