Karmaşıklık tek geçişli SMT

Bir formülün tatmin edilebilirliğinin karmaşıklığını arıyorum $\forall y_1, \dots,y_n, \exists x_1,\dots,x_m, \phi$ veya bir formülün $\exists x_1,\dots,x_m \forall y_1, \dots,y_n,\phi$ nerede $\phi$ formun formülüdür:

ϕ := ϕ \land ϕ | \neg ϕ | ϕ \to ϕ | ψ

$\phi:= \phi \wedge\phi ~| ~\neg \phi ~| ~ \phi\to \phi~| ~\psi$

ψ := t > t | t = t

$\psi := t>t~| ~t=t$

t := t + t | x_{i} | y_{i} | c

$t:= t+t~| ~x_i~|~y_i ~| ~c$ Nerede

c

$c$ sabit midir

N

$\mathbb{N}$ ve değişkenlerin alanı

x_{i}, y_{i}

$x_i,y_i$ aynı zamanda

N

$\mathbb{N}$ .

Aslında $y_i$ ya $0$ veya $1$ . Bu karmaşıklığı kolaylaştırıyor mu?

Referanslarla ilgili tüm cevaplar memnuniyetle kabul edilecektir.

Teşekkürler

cc.complexity-theory reference-request lo.logic

— wece
kaynak

Phi Boolean ise, polinom hiyerarşisinin ikinci seviyesindesiniz çünkü problemi bir belirleyici olarak bir SAT çözücü kullanarak deterministik olmayan bir Turing makinesi ile çözebilirim. Aynı akıl yürütme burada işe yaramaz mı?

— Mikolas

Soruda belirtildiği gibi Hilberts 10. problemi içerdiği için bile kararsız görünüyor, en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem

— Magnus

@MagnusFind Teşekkürler, haklısın. Ama aslında çarpım yok (düzenlenmiş, üzgünüm).

— wece

@Mikolas demek ikinci seviye

Π_{2}

$\Pi_2$ veya

Σ_{2}

$\Sigma_2$ ? Polinom hiyerarşisine pek aşina olmadığım için üzgünüm.

— wece

Nicelleştirilenler dışında başka serbest değişkenleriniz var mı? Eğer öyleyse bunu da açıklığa kavuşturmalısınız. Btw, kolay bir gözlem, nicelikli değişkenleri alsanız bile, polinom hiyerarşisinin üçüncü seviyesi için en azından zor olduğu görülüyor.

0

$0$ ve

1

$1$ .

— Kaveh

Yanıtlar:

Sınırlı niceleyici değişimi ile Presburger Aritmetiği'nde doğruluk sorunu Reddy ve Loveland tarafından oldukça hassas bir şekilde cevaplanmıştır:

CR Reddy & DW Loveland: Sınırlı Niceleyici Değişimi ile Presburger Aritmetiği .

Makale burada bulunabilir (çirkin bağlantı için özür dilerim). Ana sonuçları aşağıdaki gibi belirtilmiştir:

Üyelik $\mathrm{PA}(m)$ (nerede $m$ nicelik değişkeni sayısıdır) $n$ uzayda karar verilebilir
$2^{d n^{m + 4}}$ $2^{dn^{m+4}}$ ve (deterministik) zamanda $2^{2^{e n^{m + 4}}}$ $2^{2^{en^{m+4}}}$ Nerede $d$ ve $e$ sabitlerdir.

alma $m=2$ , bu, en azından ne istediğinize bir üst sınır veriyor gibi görünüyor ve sanırım neredeyse kökünden çok tam Presburger atom formüllerine sahip olduğunuzdan, sıkı olmaktan uzak değil.

— cody
kaynak

Presburger aritmetiğinde tek bir alternatif, üstel alt sınırlar, daha kesin olarak formüller ile elde etmek için yeterlidir. $m=1$ ve $n$ sabit olmayan yeterli ( Grädel 1989 ).

— Sylvain
kaynak

Niceliklendirilmiş parça için referansları bilmiyorum ama probleminiz Presburger aritmetiğinin iyi çalışılmış parçalarına karar vermekle aynı şey değil çünkü birim katsayılarınız var.

Pratt tarafından aşağıdaki makale kısıtlamaların formda olduğu durumu incelemektedir $x + c < y$ , nerede $x$ ve $y$ değişkenler ve $c$ doğal sayıda. Bu tür kısıtlamaların bir birleşiminin bir grafik algoritması kullanılarak verimli bir şekilde yapıp yapamayacağına karar verme probleminin olduğunu göstermektedir.

Kombinasyonu zor olan iki kolay teori. Pratt, 1977.

Bu parça aynı zamanda fark mantığı olarak adlandırılır ve kısa bir süre için maalesef ayırma mantığı olarak adlandırılır (çünkü $x$ ve $y$ bir sabit ile ayrılır). Aşağıdaki makale problemin nicelleştirici içermeyen parçasının çözülmesine ilişkin pratik bir görünüm sunmaktadır.

Ayırma Mantık Formüllerinin SAT ve Artımlı Negatif Çevrim Eliminasyonu ile Karar Verilmesi. Chao Wang, Franjo Ivančić, Malay Ganai, Aarti Gupta, 2005.

Şu anda, sorunuz yalnızca katsayılara izin veriyor $0$ ve $1$ . Ayrıca izin verirseniz $-1$ bir katsayı olarak, elde ettiğiniz kısıtlamaların bağlaçlarına program analizi literatüründe sekizgenler denir . Kısıtlamaların bağlaçları ve kopuklukları Eşitsizlik Başına Birim İki Değişkenin (UTVPI) mantığını oluşturur . Aşağıdaki makale araştırmaları, nicelleştirici içermeyen UTVPI kısıtlamalarının bağlantılarının tatmin edilebilirliğine karar vermek için algoritmalar sunar.

UTVPI Kısıtlamaları için Verimli Bir Karar Prosedürü. Shuvendu K. Lahiri ve Madanlal Musuvathi, 2005.

Hala çok kısıtlı bir parçayız. Bağlaçlarının genişletilmesi $n$ - birim katsayılı değişken doğrusal eşitsizliklere oktahedron denir . Öyle doğal bir uzantı ki, matematiksel programlama ve optimizasyon literatüründe çalışılmasını bekliyordum ama bu literatürü kendim bilmiyorum. Aşağıdaki makale bir $\mathcal{O}(3^n)$ bu tür kısıtlamaların tatmin edilebilirliğine karar verme prosedürü. Hala nicelleştirici içermeyen parçada olduğumuzu unutmayın.

Oktahedron Soyut Etki Alanı. Robert Clarisó ve Jordi Cortadella, 2004.

Sınırlı niceleyici değişim davası için, Reddy ve Loveland'dan daha iyi sonuçlar bilmiyorum, ancak belki bir uzman sizi doğru yönde gösterebilir.

— Vijay D
kaynak