Teorik bilgisayar bilimlerinde çözülemeyen başlıca problemler?

218

Wikipedia sadece "bilgisayar bilimlerindeki çözülmemiş problemler" altındaki iki sorunu listeler :

Bu listeye eklenmesi gereken diğer önemli sorunlar nelerdir?

Kurallar:

Cevap başına sadece bir sorun
Kısa bir açıklama ve ilgili linkleri girin

big-list open-problem

— Shane
kaynak

1

Bir liste istediğinden ve tek bir cevap olmadığından, bu bir topluluk wiki olarak işaretlenmiş daha iyi çalışabilir.

— Daniel Apon

2

Cevap başına bir çözülmemiş sorun, lütfen; o zaman cevapları yukarı / aşağı oylayarak kolayca sıralayabiliriz!

— Jukka Suomela

15

Neden sadece karmaşıklık ortaya çıkıyor? TCS'de karmaşıklıktan daha fazlası var! Tip teorisinde açık problem yok mu? Programlama dilleri?

— Jacques Carette

3

onları ekleyin, Jacques :).

— Suresh Venkat

8

Bence gibi temel sorunlar olarak görülen büyük açık problemler ile çözüldüğü halde teknik açıdan temel bir alt sınır gibi, temelde değil, örneğin üstel alt sınırlar arasında ayrım yapmamız gerektiğini düşünüyorum . devreler (yani, geçit). Öyleyse "TCS sınırlarında açık problemler" veya benzeri bir wiki açmalıyız.

P \neq N P

$P\neq NP$

A C^{0} (6)

$AC^0(6)$

A C^{0} + \mod 6

$AC^0+\mod 6$

— Iddo Tzameret

137

ile matrislerinin çarpımı işlemlerinde yapılabilir mi? $n$ $n$ $O(n^2)$

En iyi bilinen üst sınırın üssünün bile özel bir sembolü vardır, . Halen , Coppersmith -Winograd algoritması tarafından yaklaşık olarak 2.376'dır . ~~Tekniğin bilinen durumuna~~ genel bir bakış , Matrix Çarpma İçin Optimal Bir Algoritmaya Doğru Sara Robinson , SIAM News, 38 (9), 2005. $\omega$ $\omega$

Güncelleme: (onun 2010'da Andrew Stothers tezi ) olduğunu gösterdi (a Temmuz 2014 yılında Virginia Vassilevska Williams tarafından geliştirildi, ön baskı ) için . Bu sınırların her ikisi de temel Coppersmith-Winograd tekniğinin dikkatli bir analizi ile elde edildi. $\omega < 2.3737$ $\omega < 2.372873$

Daha Fazla Güncelleme (30 Ocak 2014): François Le Gall, ISSAC 2014'te ( arXiv ön baskısı) yayınlanan bir makalede olduğunu kanıtlamıştır . $\omega < 2.3728639$

— András Salamon
kaynak

mütevazı ve gerçekçi bir hedefi ya da ve arasında başka bir fonksiyona ne dersiniz ? Sonuçta tamsayı çarpımının alt sınırına sahip olması beklenir .

O (n^{2} \log n)

$O(n^2 \log n)$

n^{2 + ϵ}

$n^{2+\epsilon}$

n^{2}

$n^2$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Mitch,

Hatta gidiş emin değilim etmek altına gidiş sonra şöyle dursun, bir "mütevazı ve gerçekçi bir hedef" olarak kabul edilir . Ancak biraz ilerleme görmek harika olurdu, o yüzden bir şans verin!

2 + 0.376

$2+0.376$

2 + ϵ

$2+\epsilon$

2 + ϵ

$2+\epsilon$

— András Salamon

13

Matris çarpım üs küçük gerçek sayı olarak tanımlanır şekilde aritmetik işlemler her için yeterli . Muhtemelen gibi bir faktör beklenmelidir.

ω

$\omega$

O (n^{ω + ϵ})

$O(n^{\omega+\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

\log n

$\log n$

— Zeyu

2

Sadece CW'nin bağlı olduğu birkaç gün önce Virginia Williams tarafından daha iyi hale getirildiğine dair mevcut bilginin eksiksiz olması için söz veriyorum. Ve cemaatteki diğer pek çokları tarafından da belirtildiği gibi, Andrew Stothers, Virginia'dan bir yıl önce CW'lerin sınırlarını atmaya başladı. Güncel rekor

O (n^{2.373})

$O(n^{2.373})$

— Akash Kumar

Bunun için buraya izin vereceğim research.microsoft.com/en-us/um/people/kannan/papers/…

— kuzgun

123

P Grafikte İzomorfizm mi?

Graph Isomorphism'in (GI) karmaşıklığı birkaç on yıl boyunca açık bir sorudur. Stephen Cook, 1971’de SAT’ın NP eksiksizliği üzerine yazdığı makalede bahsetti .

İki grafiğin izomorfik olup olmadığını belirlemek genellikle hızlıca, örneğin nautyve gibi yazılımlarla yapılabilir saucy. Öte yandan, Miyazaki inşa örnekleri sınıfları hangi nautykanıtlanabilir üstel zaman gerektirir.

Oku ve Corneil, GI'nin karmaşıklığı ile başa çıkma girişimlerini bu noktaya kadar inceledi: Grafik İzomorfizma Hastalığı , Grafik Teorisi Dergisi 1 , 339-363, 1977.

GI'nin ortak NP'de olduğu bilinmemektedir, ancak Grafik İzomorfizmi (GNI) için basit bir randomize protokol vardır. Bu nedenle GI (= ortak GNI) bu nedenle “NP” ye yakın bir noktaya yakın ortak NP olarak kabul edilir. ${}\cap{}$

Öte yandan, eğer GI NP tamamlandıysa, Polinom Hiyerarşisi çöker. Yani GI NP-tamam olması muhtemel değildir. (Boppana, Håstad, Zachos, yardımcı NP Kısa Etkileşimli Kanıtlara Sahip midir ?, IPL 25 , 127-132, 1987)

Shiva Kintali'nin blogundaki GI'nin karmaşıklığı hakkında güzel bir tartışması var .

Laszlo Babai, Graph Isomorphism'in subexepential zaman içinde olduğunu kanıtladı .

— András Salamon
kaynak

Lütfen bu girişe de bir göz atın .

— MS Dousti

Genel kaba kuvvet otomorfizm tespiti için tam bir alt sınır krank. oeis.org/A186202 n'den çok daha azama yine de üstel. Umutlamak McKay, paralel donanım üzerinde çalışmasını sağlamak için NAUTY'nin enkarnasyonu için Schrier-Sims'e bağlayacak.

n!

$n!$

— Chad Brewbaker

1

Babai, quasipolynomial çalışma zamanı iddiasını geri çekti . Görünüşe göre analizde bir hata vardı.

— Raphael

4

Hak

— niting

91

Faktoringin Karmaşıklığı

Is Faktoring içinde ? $\mathsf{P}$

— Kaveh
kaynak

Z_n'de toplama ve çarpma dönüşümleri yapısı bağlamında faktoring veya primallik testi karmaşıklığını tanımlayan iyi yayınlar var mı? Örneğin, [0,1,2] +0 | x1 dönüşümü, [1,2,0] +1 dönüşümü ...

Z_{3}

$Z_3$

— Chad Brewbaker

72

P = BPP?

— Diego de Estrada
kaynak

2

Bu cevap şimdi de CW yapılmalı ...

— Shane

2

ve ilgili sorular NP = MA = AM gibi mi?

— Robin Kothari

1

Yakından ilgili soruya bakın cstheory.stackexchange.com/questions/64/…

— András Salamon

66

Simpleks algoritması için en kötü durumdaki polinomun çalışma zamanını veren hareketli bir kural var mı? Daha genel olarak, doğrusal programlama için güçlü bir polinom algoritması var mı?

— Jɛ E
kaynak

11

Bu soruya ekleyeceğim: kuvvetle polinom LP'nin bulunmadığını gösteren herhangi bir sınıf ayrımı sonucunu ima eder mi?

— Anand Kulkarni,

... ve Hirsch varsayımı ...

— Sariel Har-Peled

7

2011 yılında, Oliver Friedmann birçok dönme kuralı için katlanarak daha düşük sınırlar sergiledi (gerçekte Random Facet ve Random Edge dahil olmak üzere “esasen tümüyle doğal” dönme kuralları olduğunu iddia ediyor). Bu sınırlar, 2 oyunculu eşlik oyunlarından türetilmiş doğrusal bir program çözerken uygulanır. Friedmann'ın tezi edoc.ub.uni-muenchen.de/13294 , tarihi biraz derinlemesine inceler (Hirsch Conjecture'un çeşitli formları ve 2010, Francisco Santos tarafından oluşturulan güçlü forma karşı örnek).

— András Salamon,

63

Üstel zamanlı hipotezi (ETH) SAT çözme 2, üstel gerektirdiğini belirtmektedir ^{Ω (n)} süresi. ETH pek çok şeyi, örneğin SAT'ın P'de olmadığını, dolayısıyla ETH P ≠ NP'yi ima eder. Bkz. Impagliazzo, Paturi, Zane, Hangi Sorunların Güçlü Üstel Karmaşıklığı Var? , JCSS 63, 512-530, 2001.

ETH'nin birçok inançlı olmasına rağmen, diğer birçok karmaşıklık sınıfı ayrımını ima ettiği için ispatlanması zor olduğu düşünülmektedir.

— András Salamon
kaynak

4

Cidden, bu noktada ETH'ye büyük bir açık sorun demem çünkü tam olarak P ≠ NP anlamına geliyor ve bu yüzden en azından kanıtlanması zor.

— Holger

17

Hayır? IMHO, sizin argümanınız ETH'nin PvsNP'den çok daha büyük bir açık sorun olduğunu ima ediyor.

— Jeffε

neden ETH'yi ifade etmediğini açıklayabilir misiniz ?

P \neq N P

$P \ne NP$

— Emil,

13

Eğer , daha sonra , ancak ETH yanlıştır.

N P = P T I M E (n^{\log n})

$NP = PTIME(n^{\log n})$

P \neq N P

$P\ne NP$

— Jeffε

3

Ah tamam. Fakat DTIME demek istiyorsun ( )?

n^{\log n}

$n^{\log n}$

— Emil,

59

Immerman ve Vardi, sabit nokta mantığının sıralı yapılar sınıfında PTIME'yi yakaladığını gösteriyor . Tanımlayıcı karmaşıklık teorisindeki en büyük açık sorunlardan biri, düzene bağımlılığın giderilip giderilemeyeceğidir:

PTIME'yi yakalayan bir mantık var mı?

Basitçe söylemek gerekirse, PTIME yakalayan bir mantık, doğrudan grafik yapısında çalışan ve aşağıdakilerin tuttuğu gibi, tepe noktalarının ve kenarların kodlanmasına erişemeyen grafik sorunları için bir programlama dilidir:

Herhangi bir sözdizimsel olarak doğru program herhangi bir polinom-zaman hesaplanabilir grafik sorunu modelleri ve
herhangi bir polinom-zaman hesaplanabilir grafik problemi, sözdizimsel olarak doğru bir programla modellenebilir.

PTIME'yi yakalayan bir mantık yoksa, NP varolan ikinci dereceden mantık tarafından yakalandığından . PTIME'yi yakalayan bir mantık, P'ye karşı NP'ye olası bir saldırı sağlayacaktır. $P \neq NP$

Bkz Lipton'ın blog gayrı tartışma ve için : M. Grohe bir Mantık Yakalama ptime Quest for daha teknik anket için (Lics 2008).

— Holger
kaynak

3

Immerman-Vardi, FO (LFP) 'nin <i> sipariş edilen </i> yapılara ilişkin mantığı yakaladığını gösteriyor, bu yüzden keyfi sonlu modellerde PTIME'yi yakalamakla ilgili bir soru, anlıyorum. Seni doğru anlarsam, bu soru P! = NP olup olmadığını sormanın bir çevirisi değil mi? Bağlandığınız ankette bir veya daha fazla açık sorun sormak daha fazla işaret edilebilir. Burada cansız olduğum için özür dilerim.

— Aaron Sterling

5

Teşekkürler, açıklama için Immerman-Vardi'den bahsetmek için cevabı değiştirdim. Hayır, bu açık sorunun P veya NP'ye eşit olduğu bilinmemektedir. Anketteki açık problemler büyük açık problemin özel durumudur ve bu konuya uygun değildir. Belki de bu referans aynı zamanda yararlıdır: rjlipton.wordpress.com/2010/04/05/…

— Holger

55

Mı benzersiz oyunlar varsayım doğrudur?
Ve: Eşsiz Oyunlar için alt üstel zaman yaklaşımı algoritmaları olduğu göz önüne alındığında , sorun sonuçta karmaşıklık alanı açısından nerede duruyor?

— Anand Kulkarni
kaynak

Eğer UGC doğru değilse (yani, benzersiz oyunlar NP-zor değil, sadece P'den daha zor), UGC'nin manzaraya nereye sığacağını söylemek daha doğru olmaz mıydı?

— András Salamon

Hata. Evet, bunu yeniden değerlendirmeliyim. Niyetim, üstel (ama oldukça polinom değil) zamanındaki önemsiz bir yaklaşım algoritmasına sahip olan benzersiz oyunların sonucu olan görünen tutarsızlığı vurgulamaktı. Dahası: Eşsiz oyunlar için eğer üstel çalışma süresi en uygunsa, ne diyor?

— Daniel Apon

2

Geçmişe bakıldığında, bu ön baskıya doğru bir işaretçi koymam gerektiğini düşündüm . Benim düşünceme göre, cevapta bağladığım makale kadar büyük bir gelişme.

— Daniel Apon,

1

Bilinen zor UCG örnekleri olmadığına dikkat etmek önemlidir. Mevcut en iyi yaklaşım, test edilen her durumda verimli bir şekilde çalışır. En patolojik örnekleri bulduğumuzu kanıtlayamayız.

— Stella Biderman

55

Kalıcı ve Belirleyici

Kalıcı ve belirleyici soru, iki gerçek nedeniyle ilginçtir. İlk olarak, bir matrisin kalıcılığı iki taraflı bir grafikteki mükemmel eşleşme sayısını sayar. Dolayısıyla böyle bir matrisin kalıcılığı # P-Complete'tir. Aynı zamanda, kalıcıın tanımı belirleyiciye çok yakındır, sonuçta yalnızca basit bir işaret değişikliği nedeniyle farklıdır. Determinant hesaplamaları P'de iyi bilinmektedir. Kalıcı ve determinant arasındaki farklılığın incelenmesi ve P ile P arasındaki kalıcı konuşmayı hesaplamak için kaç tane determinant hesaplama yapılması gerektiği.

— Kaveh
kaynak

5

Bana göre bu, "büyük açık bir problem" olarak nitelendirilmez, çünkü gerçek karmaşıklık teorik sorusu (farklı karmaşıklıkları var mıdır) P = NP tarafından varsayılır (#P bir NP'nin üst kümesi olduğundan) ve bu soruyu bir kenara koyun Burada ortaya konulan somut bir sorun yok.

— David Eppstein

Aslında buna katılıyorum.

— Ross Snider

10

@DavidEppstein: v. Det, NP v NL'nin sayım analoğu olan GapP v GapL'ye daha yakındır. Bu mümkündür ve dolayısıyla . Ayrıca, her bir v det, P v NP'den çok daha eskidir, esasen [Polya 1913] 'e geri döner, ki burada, bir kalıntısını kendi determinantına (2x2 hariç) değiştirmek için bir matrise işaretler yapılamaz. Valiant, karmaşıklıktaki önemi nedeniyle (det büyüklüğünün n'den büyük olmasına izin veren) bu sorular üzerinde bir çeşitleme ortaya koydu, ancak Valiant öncesi çalışmalar bile "kalıcılık hesaplamak çok zor olduğu için" motivasyon veriyor (ör. Gibson 1971)

N L \neq P = N P

$NL \neq P=NP$

G a p P \neq G a p L

$GapP \neq GapL$

— Joshua Grochow

Bir 0-1 matrisinin kalıcılığını hesaplamak için şimdi teknoloji algoritmalarının durumu nedir? yani 1'lerin bir alt kümesinden üretebileceğiniz yasal permütasyon matrisi sayısı.

— Chad Brewbaker

@ChadBrewbaker: Mark Jerrum, Alistair Sinclair, Eric Vigoda, "Negatif Olmayan Girişli Bir Matrisin Daimi İçin Bir Polinom-Zaman Yaklaşımı Algoritması", ACM 51/4 (2004), 671, citeseerx.ist. psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.141.116

— Zsbán Ambrus

47

FFT'yi süresinden daha kısa sürede hesaplayabilir miyiz ? $O(n \log n)$

Örneğin olabilir: Aynı (çok), genel şekilde, birçok klasik sorunları ya da algoritma çalışma sürelerinin geliştirilmesi pek çok soru vardır her çifti-kısa-yolları (APSP) çözülmesi zaman? $O(n^{3-\epsilon})$

Düzenleme: APSP zaman içinde çalışır "burada gerçeklerin eklenmesi ve karşılaştırılması birim maliyettir (ancak diğer tüm işlemlerin tipik olduğu logaritmik maliyet) ": http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf $(\frac{n^3}{2^{\Omega(log n)^{1/2}}})$

— Alex Andoni
kaynak

3

FFT'deki ilginç bir gelişme: "* Giriş sinyalinin en çok sıfır olmayan Fourier katsayısına sahip olduğu durumlar için bir O (k log n) zaman algoritması ve * O O (k log n log (n / k)) genel giriş sinyalleri için zaman algoritması. " Kaynak: arxiv.org/abs/1201.2501v1

— Shadok

46

Splay ağaçlar için dinamik eniyilik varsayım.

Veya daha genel olarak: Herhangi bir çevrimiçi dinamik ikili arama ağacı O (1) rekabet edebilir mi?

— Jeffε
kaynak

hemen hemen hepsi bu.

— Suresh Venkat

Ayrıca, O (lg n) en kötü durum erişim zamanından vazgeçmeden rekabetçi olan O (lg lg n) olan daha yeni fermuar ağaçları da vardır.

— jbapple

45

Minimum yayılma ağacı problemi için doğrusal bir zaman deterministik algoritması .

— Suresh Venkat
kaynak

44

NP karşı ko-NP

NP - ko-NP sorusu ilginçtir çünkü NP ≠ ko-NP P imp NP anlamına gelir (P tamamlayıcıda kapalı olduğu için). Aynı zamanda “dualite” ile de ilgilidir: örnekleri bulma / doğrulama ve karşı örnekleri bulma / doğrulama arasındaki ayrım. Aslında, bir sorunun hem NP'de hem de NP'de olduğunu kanıtlamak, P'nin dışında görünen bir sorunun NP-Tamam olmadığını da gösteren ilk iyi kanıtımızdır.

— Ross Snider
kaynak

7

Bu aynı zamanda kanıt kanıtı karmaşıklığı ile de ilgilidir. eşit olması polinom önermeli bir ispat sistemi .

N P

$NP$

c o N P

$coNP$

— Kaveh

41

Paralel bilgisayarlar tarafından verimli bir şekilde çözülemeyen problemler var mı?

P-tamamlanmış problemlerin paralelleştirilebileceği bilinmemektedir. P-komple problemler Horn-SAT ve Doğrusal Programlama'yı içerir. Ancak bunun böyle olduğunu kanıtlamak, bazı paralelleştirilebilir problemler kavramını (NC veya LOGCFL gibi) P'den ayırmayı gerektireceğini kanıtlamaktır.

Bilgisayar işlemcisi tasarımları, daha yüksek performans sağlayacağı umuduyla, işlem birimi sayısını artırıyor. Doğrusal Programlama gibi temel algoritmalar doğası gereği paralelleştirilemezse, önemli sonuçlar ortaya çıkar.

— András Salamon
kaynak

16

LP algoritmalarının bugün olduğu gibi paralelleştirilemediğinden eminim. Mulmuley’in RAM’i bit işlemsiz modeline uyduklarına inanıyorum. In dx.doi.org/10.1137/S0097539794282930 K. Mulmuley. Bit İşlemleri Olmadan Paralel Modelde Düşük Sınırlar. SIAM J. Comput. 28 (4), (1999) 1460-1509 de göstermektedir bu modelde, bir çok doğal (genellikle sayısal) algoritmaları gösteren -Komple sorunları, paralel değildir. Bu, boolean davasındaki soruyu cevaplamamaktadır, ancak geniş bir doğal algoritma sınıfı için cevaplamaktadır.

P \neq N C

$P \neq NC$

P

$P$

— Joshua Grocho,

41

Tüm önermeli totolojilerde polinom boyutunda Frege kanıtları var mı?

Muhtemelen en büyük kanıt kanıtı karmaşıklığı sorunu : önermeli kanıtlar üzerindeki süper polinom büyüklüğünün düşük sınırlar gösterdiğini (ayrıca Frege kanıtı olarak da bilinir) gösterir.

Gayri resmi olarak, bir Frege onay sistemi, kanıtlama satırlarının formül olarak yazıldığı aksiyomları ve kesinti kurallarını içeren, önerme tautolojilerini (temel bir mantık dersinde öğrenen) kanıtlamak için sadece standart bir teklif kanıtı sistemidir. Boyut , bir Frege ispat bunun kanıtı yazmak için gereken sembollerin sayısıdır.

Bu durumda problem bir aile olup olmadığını sorar bir polinom var olduğu için önerme tautological formüllerin minimal Frege geçirmez boyutu şekilde en olan , tüm (burada , formülünün boyutunu gösterir ). $(F_n)_{n=1}^\infty$ $p$ $F_n$ $p(|F_n|)$ $n=1,2,\ldots$ $|F_n|$ $F_n$

Frege kanıtı sisteminin biçimsel tanımı

Tanım (Frege kuralı) Frege kuralı , için yazılmış , , bir formül formülü dizisidir. . durumunda , Frege kuralına aksiyom şeması denir . Bir formül olduğu söylenen kural tarafından türetilen gelen ise tüm ikame örnekleri olan , bazı atama için değişken (yani, formüller var $A_0(\overline x),\ldots,A_k(\overline x)$ $k \le 0$ $\frac{A_1(\overline x), \ldots,A_k(\overline x)}{A_0(\overline x)}$ $k = 0$ $F_0$ $F_1,\ldots,F_k$ $F_0,\ldots,F_k$ $A_1,\ldots,A_k$ $\overline x$ $B_1,\ldots,B_n$ öyle ki hepsi için . Frege kuralı olduğu söylenir ses bir atama üst yan formülleri karşılayan her halinde , o zaman, daha düşük yan formülü tatmin . $F_i = A_i(B_1/x_1,\ldots,B_n/x_n),$ $i=0,\ldots,k$ $A_1,\ldots,A_k$ $A_0$

Tanım (Frege kanıtı) Bir Frege kuralları kümesi göz önüne alındığında, bir Frege kanıtı , her bir kanıtlama satırının bir aksiyom olacağı veya belirli bir Frege kurallarından biri tarafından önceki deneme satırlarından türetildiği bir formül dizisidir. Dizisi formülü ile sona ererse , bunun bir kanıtı olduğu söylenmektedir bir kanıtı . Boyut , bir Frege ispat ispat tüm formüllerin toplam boyutları olduğunu. $A$ $A$

Eğer tüm formül kümeleri için , eğer semantik olarak ifade ediyorsa , o zaman (muhtemelen) aksiyomları kullanan bir kanıtı varsa, bir deneme sisteminin tamamıyla tamamlandığı söylenir . Bir prova sisteminin sadece totolojilerin ispatlarını kabul etmesi halinde sağlam olduğu söylenir (yardımcı aksiyomları kullanmıyorken, yukarıdaki gibi). $T$ $T$ $F$ $F$ $T$ $T$

Tanım bir önermeler dil ve sonlu kümesi verildiğinde (Frege geçirmez sistemi) ses Frege kurallarının, biz söylemek olan bir Frege geçirmez sistem eğer implicationally tamamlandı. $P$ $P$ $P$

Frege kurallarının sağlam olduğu varsayıldığından, bir Frege kanıtının her zaman sesli olduğunu unutmayın. Kanıtlama karmaşıklığının temel bir sonucu olarak, her iki Frege geçirmezlik sisteminin farklı dillerde bile olsa, polinom eşdeğeri olduğunu belirtti- riz [Reckhow, PhD tezi, Toronto Üniversitesi, 1976].

Frege provalarına daha düşük sınırlar koymak kanıtlanmasına doğru bir adım olarak , çünkü eğer bu doğruysa hiçbir prova sistemi (Frege dahil) tüm totolojiler için polinom büyüklüğünde provalara sahip olamaz. $NP \neq coNP$

— Iddo Tzameret
kaynak

38

İkinci uzunluktaki iki dizgisi arasındaki düzenleme mesafesini ikinci dereceden bir sürede, yani bazı için zamanında hesaplayabilir miyiz ? $n$ $O(n^{2-\epsilon})$ $\epsilon>0$

— Piotr
kaynak

8

Bunun için referanslarınız var mı? Aslında bu önerimin önemsiz bir şekilde yanlış olduğunu düşündüm, ancak kafamın tepesinden bir kanıt düşünemiyorum. (Çalışma zamanının hata sayısına bağlı olarak yapılabileceğini bilmeme rağmen.)

— Konrad Rudolph

5

Güncelleme (STOC 2015): Backurs ve Indyk, ikinci dereceden daha iyi bir zamanın mümkün olmadığını kanıtlıyor. Bkz. Rjlipton.wordpress.com/2015/06/01/puzzling-evidence .

— Neal Young,

38

3SUM-Zorlu Problemler için gerçekten alt-kuadratik-zaman algoritmaları ( bazı sabitler için ) zamanı var mı? $O(n^{2-\delta})$ $\delta>0$

2014 yılında, Grønlund ve Pettie , süresinde çalışan 3SUM için belirleyici bir algoritma tanımlamıştır . Bu önemli bir sonuç olmasına rağmen, ye göre gelişme sadece (alt) logaritmiktir. Ayrıca, diğer 3SUM zor problemlerin çoğu için benzer bir ikinci dereceden algoritma bilinmemektedir. $O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$ $O(n^2)$

— Aryabhata
kaynak

9

İyi soru. Bununla birlikte, 3SUM problemi için ikinci dereceden algoritmaların varlığı, rastgele algoritmalar için bile tamamen açıktır . Elbette, deterministik algoritma daha da iyi olurdu ..

— Piotr

3

Kuantum durumunda, 3SUM için n log (n) alt ve üst sınırları ile eşleşen n eşleşme vardır: Andrej Dubrovsky, Oksana Scegulnaja-Dubrovska, 3 Toplamlı Problem için İyileştirilmiş Kuantum Alt Sınırları. Baltic DB & IS 2004, cilt no. 2, Riga, Letonya, s.40-45.

— Martin Schwarz

1

NP'deki herhangi bir sorun için n ^ 2 alt sınırımız olmadığı izlenimindeydim.

— Sariel Har-Peled 10:11

1

Karar problemleriyle sınırlıysanız (çıktı argümanı yok), o zaman hiçbir şey bilinmediği konusunda net bir izlenim bıraktım. Fakat gerçekten karmaşık bir kişiye sormalısınız.

— Sariel Har-Peled,

3

Yeni bir arXiv gazetesi , bu varsayımı 3-SUM için ikinci dereceden algoritmalar vererek çözdüğünü iddia ediyor.

— Mangara

35

BQP = P?

Ayrıca: BQP'de bulunan NP?

Bunun cevabında iki soru sorarak kuralları ihlal ettiğini biliyorum, ancak P-NP sorusu ile alındığında, mutlaka bağımsız sorular değildir.

— Joe Fitzsimons
kaynak

33

İzomorfizm varsayımı. (Tüm NP-komple problemler "aynı" problem midir?)
Şifreleme, NP tamamlama sorununa dayanabilir mi?

EXP içindeki NP büyüklüğü nedir?

(Gayrı resmi olarak, bir tabloda EXP'deki tüm sorunlarınız varsa ve rastgele bir şekilde tek tek ele alırsanız, seçtiğiniz sorunun da NP'de olma olasılığı nedir? Bu soru, kaynağa bağlı ölçüm kavramı ile şekillendirilmiştir. P'nin EXP içinde sıfır ölçüsü olduğu biliniyor, yani tablodan topladığınız sorunun neredeyse kesinlikle P'de olmadığı.)

— Aaron Sterling
kaynak

Bu, Karmaşıklık Hayvanat Bahçesi'ndeki p ölçüsü ile aynı mıdır? Bu konuda daha fazla okumak için nereye giderim?

— András Salamon

2

P ölçüsü, kaynağa bağlı ölçüme bir örnektir: daha genel olarak, bir sekansı tahmin etmeye çalışan bir makineyi hayal edebilirsiniz ve bunun için kullanabileceği hesaplamalı kaynaklar, ölçüme bağlı olan kaynağı sağlar. EXP'in resmi olmayan açıklamasında bir tablodaki p-ölçüyü kullandım. Daha fazla okumak için, aşağıdaki anketin dergi versiyonunu Lutz tarafından tavsiye ediyorum (CZ bu anketin konferans versiyonunu gösteriyor). cs.iastate.edu/~lutz/=PAPERS/qset.ps (postscript'te umarım iyidir)

— Aaron Sterling

Teşekkürler. İşte PS okuyamaz olanlar için bu bir kağıt PDF'tir: archives.cs.iastate.edu/documents/disk0/00/00/01/28/00000128-01/...

— Andras Salamon

2

İlk sorunuza evet. P EXP’de 0 ölçüsüne sahiptir, eğer NP gelmezse derhal P! İkinci soru için, Andras ve bağlantılı olduğum ankette 28. sayfanın son paragrafını okumanızı öneriyorum. (Yoruma buraya yapıştırmak için yeterli alan yok, üzgünüm.) Temel olarak, eğer NP sıfır ölçtüyse, NP zor bir problemde üyeliği "makul olmayan" şekilde tahmin edebilen uygulanabilir bir algoritma vardır. Bu nedenle, NP'nin EXP'de sıfırı ölçmemesi muhtemel görünüyor.

— Aaron Sterling

1

@Artem: buradan başlayabilirsiniz: blog.computationalcomplexity.org/2003/03/…

— Aaron Sterling

29

Metric TSP'nin yaklaşıklığı nedir ? Christofides'in 1975'teki algoritması , bir polinom-zaman (3/2) yaklaşımı algoritmasıdır. Daha iyisini yapmak NP-zor mu?

Metrik TSP'yi 220/219'dan daha küçük bir faktöre yaklaştırmak NP-zordur (Papadimitriou ve Vempala, 2006 [PS] ). Bildiğim kadarıyla bu en iyi bilinen alt sınırdır.
Asıl sınırın 4/3 olabileceğini gösteren bazı kanıtlar var (Carr ve Vempala, 2004 [Ücretsiz sürüm] [İyi sürüm] ).
Approximability üst sınır geçenlerde düşürülmüştür (2011 Mucha "Grafik TSP için 13/9 -approximation" [ PDF ]) $13/9$

— James King
kaynak

1

Son zamanlarda 3/2 - e tarafından yapılan Metrik TSP, burada e sabittir (0.002'ye yakın)

— Saeed

1

— Godel’in

2

@ Saeed, sadece özel bir Metric TSP örneği algoritması mı demek istediniz: Grafik TSP için mi? Daha sonra Mucha tarafından 13 / 9'a yükseltildi. Görünüşe göre 3/2 Metrik TSP için bilinen en üst sınırdır.

— Alex Golovnev

@AlexGolovnev, Merhaba Alex, Evet, ancak yorumum yeni makalenin başlamasından önceydi;) (Oveis Gharan gazetesini o zaman gördüm).

— Saeed,

28

Üstel devre karmaşıklığı ile açık bir işlev verin.

Shannon, 1949'da rastgele bir Boolean işlevi seçerseniz, neredeyse bir olasılıkla üstel devre karmaşıklığına sahip olduğunu kanıtladı.

Açık bir Boolean işlevi için en iyi alt sınır , şu ana kadar sahip olduğumuz , K. Iwama, O. Lachish, H Morizumi ve R. Raz. $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $5n - o(n)$

— Kaveh
kaynak

11

Sorunu ifade etmenin bu yolu beni her zaman rahatsız ediyor, çünkü "açık" derken ne demek istediğine dikkat etmelisin. Üstel devre karmaşıklığına sahip bir fonksiyonun tanımını yazmak kolaydır. "Açık", "üstel zaman içinde hesaplanabilir" anlamına gelirse, o zaman katılıyorum, bu büyük bir açık sorun.

— Ryan Williams

1

Ryan, haklısın. Bu son derece önemli bir nokta. Hesaplanamayan bir fonksiyonun tanımını yazmak da kolaydır. Alıntı ettiğim makalede alt sınırın, deterministik polinom zamanlarında yapılandırılabilir bir fonksiyon için olduğu kanıtlanmıştır.

— Marc

Shannon'ın çalışması hakkında iyi bir açıklama var mı?

— T ....

3

Bu argüman aşağıdaki ders notlarında ayrıntılı olarak açıklanmıştır: math.tau.ac.il/~zwick/scribe-boolean.html

— Marc

Bu mükemmel bir sorundur ve Shanon'un sonucunun ikinci üniversitemdeki sonucuna düşkün hatıraları hatırlatıyor.

— Stella Biderman

27

Yoğun grafiklerde üçgen-inceliği test etmenin sorgu karmaşıklığı nedir (yani, üçgen içermeyen grafikleri far'den üçgensiz olmaktan ayırmak)? Bilinen üst sınır üstel bir kule iken, bilinen alt sınır epsilon'da sadece hafif süper-polinomdur . Bu, yaklaşık 30 yıldır açık olan ekstremal grafik teorisi / katkı maddesi kombinasyonlarında oldukça basit bir sorudur. $\epsilon$ $1/\epsilon$ $1/\epsilon$

— arnab
kaynak

27

BPP'den ayrı NEXP. İnsanlar BPP = P'ye inanma eğilimindedir, fakat hiç kimse NEXP'yi BPP'den ayıramaz.

— Bin Fu
kaynak

26

Ben gönderim başına yalnızca bir sorun istedi OP biliyorum ama (Teknikleri ve bunların Uygulamaları Yeniden Yazma) RTA 1 ve TLCA (Yazılan Lambda Kalkuli ve Uygulamaları) konferans hem kendi alanlarında açık problemlerin listelerini korumak 2 . Bu listeler, bu problemleri çözme konusunda yapılan önceki çalışmaların göstericilerini de içerdiğinden oldukça faydalıdır.

— Dominic Mulligan
kaynak

1

Sorun değil. Başka konferanslardan benzer listelerden bilen var mı? Okumak için oldukça ilginçler.

— Dominic Mulligan

26

Polinom Kimlik Testi probleminin derandomizasyonu

Sorun şudur: Bir polinom hesaplayan bir aritmetik devre göz önüne alındığında , aynı sıfır mı? $P$ $P$

Bu problem randomize polinom zamanında çözülebilir, ancak deterministik polinom zamanında çözülebilir olduğu bilinmemektedir.

İlgili Shub ve SMALE en olduğunu varsayım. Bir polinom göz önüne alındığında , -complexity yı tek sabit kullanarak en küçük aritmetik devre hesaplamasının büyüklüğü olarak tanımlarız . Tek değişkenli bir polinom , nin gerçek kök sayısı olsun. $\tau$ $P$ $\tau$ $\tau(P)$ $P$ $1$ $P\in\mathbb Z[x]$ $z(P)$

Üniversal kalıcı var olduğunu kanıtlamak , öyle ki, her için , . $c$ $P\in\mathbb Z[x]$ $z(P)\le (1+\tau(P))^c$

— Bruno
kaynak

25

Kuantum PCP teoremi var mı?

— Robin Kothari
kaynak

Bu soru bir süre önce Scott Aaronson'un blogunda belirtildi. Scottaaronson.com/blog/?p=139 ancak o zamandan beri bir ilerleme olup olmadığını bilmiyorum.

— Anthony Leverrier

Bu cevabın güncellenmesi gerektiğini düşünüyorum.

— Kaveh

@Kaveh: Nelerin eklendiğini görmek istersiniz?

— Robin Kothari

arxiv.org/abs/1309.7495

— Kaveh

arxiv.org/abs/1201.3387

— Kaveh

25

Lambda calculi (açık ve yazılı olmayan) birçok açık sorun var. Ayrıntılar için TLCA açık problemler listesine bakınız; Ayrıca çerçevesiz güzel bir PDF versiyonu da var .

Özellikle # 5 numaralı sorunu sevdim:

F_ω'da türev ancak olumlu özyinelemeli türlerin yardımıyla terimler var mı? $F_ω$

— Jacques Carette
kaynak

3

Beni bu özel sorun listesine yönlendirdiği için Dominic Mulligan'a teşekkür ederim.

— Jacques Carette

25

P de ayrık logaritma sorunu mu var?

Let düzeni bir siklik grup olduğu ve bu şekilde bir jeneratör olup . Bulma problemi , öyle ki olarak bilinen ayrı bir logaritma problemi (DLP). DLP'yi en kötü durumdaki polinom zamanlarında bit sayısında çözmek için bir (klasik) algoritma var mı ? $G$ $q$ $g,h \in G$ $g$ $G$ $n \in \mathbb{N}$ $g^n = h$ $q$

Daha kolay olduğuna inanılan, ancak hala çözülmeyen DLP varyasyonları vardır. Hesaplama Diffie-Hellman sorunu (CDH) bulmak için ister verilen ve . Karar Diffie-Hellman sorunu (GKD) karar verildi sorar , eğer . $g^{a b}$ $g, g^a$ $g^b$ $g, g^a, g^b, h \in G$ $g^{a b} = h$

Açıkça, eğer CDH zorsa DLP, DDH zorsa CDH zordur, ancak bazı gruplar dışında hiçbir konuşma azaltma bilinmemektedir. DDH'nin zor olduğu varsayımı, ElGamal ve Cramer-Shoup gibi bazı şifreleme sistemlerinin güvenliğinin anahtarıdır .

— Felipe Lacerda
kaynak

3

DLP’nin BQP’de bulunduğunu biliyoruz.

— Joe Fitzsimons

DLP yakın zamanda grubu için yarı-P'ye yerleştirildi

G = F_{p^{n}}^{\times}

$G = \mathbb{F}_{p^n}^\times$

— Mark

24

Parite oyunları, doğal karar sorunu NP ve yardımcı NP olan ve PPAD ve PLS'deki doğal arama sorunu olan iki oyunculu sonsuz süreli grafik oyunlarıdır.

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

Polinom zamanında parite oyunları çözülebilir mi?

(Daha genel olarak, matematiksel programlamada uzun süredir devam eden önemli bir soru, P-matrisinin Doğrusal Tamamlayıcılık Sorunlarının polinom zamanında çözülebilmesidir?)

— revs Rahul Savani
kaynak

23

Parametreli karmaşıklık alanının kendi açık problem yükü vardır.

Karar problemlerini düşünün

Verilen grafiği için boyutunda bir köşe örtüsü var mı? $(G,k)$ $k$ $G$
verilen ağırlıkça tatmin edici bir atama orada var yok formül ? $(F,k)$ $k$ $F$
Verilen grafiğinde boyutunda bir klik var mı? $(G,k)$ $k$ $G$
vb...

Pek çok, MANY, kombinasyonel problemler bu formda var. Parametreli karmaşıklığın çalışma süresi, üst çevrili ise bir algoritma "verimli" olarak kabul burada herhangi bir fonksiyon ve bir sabittir , bağımsız bir . Karşılaştırma yapıldığında, bu tür sorunların kolayca içerisinde çözülebileceğini unutmayın . $f(k)n^c$ $f$ $c$ $k$ $n^{O(k)}$

Bu çerçeve, küçük bir kombinasyon yapısını aradığımız durumları modellemektedir ve çözümün / tanığın boyutuna göre üssel çalışma zamanını karşılayabiliriz .

Böyle bir algoritma ile bir problem (örneğin, köşe örtüsü) Sabit Parametre İzlenebilir (FPT) olarak adlandırılır .

Parametreli karmaşıklık olgun bir teoridir ve hem güçlü teorik temellere sahiptir hem de pratik uygulamalar için caziptir. Böyle bir teori için ilginç olan karar problemleri, doğal sorunları olan çok iyi yapılandırılmış bir sınıf hiyerarşisi oluşturur:

F P T \subseteq W [1] \subseteq W [2] \subseteq \dots \subseteq W [i] \subseteq W [i + 1] \subseteq \dots W [P]

$FPT \subseteq W[1] \subseteq W[2] \subseteq \ldots \subseteq W[i] \subseteq W[i+1] \subseteq \ldots W[P]$

Elbette böyle bir katılımın katı olup olmadığı açıktır. Eğer dikkat edin daha sonra doymuş altüssel algoritması (bu önemsiz olmayan bir). Son ifade, yukarıda belirtilen ile ölçülen karmaşıklığı birleştirir . $FPT=W[1]$ $ETH$

Ayrıca, bu çökmelerin araştırılmasının boş bir alıştırma olmadığını unutmayın: FPT'nin -cliques bulmak için sabit bir parametre ile izlenebilir algoritma olduğunu kanıtlamaya eşdeğer olduğunu kanıtlamak . $W[1]=FPT$ $k$

— MassimoLauria
kaynak