Denetçinin Sorunu (SAT karar örneklerinin / cevaplarının tek tip üretimi)

Bir kursun öğretim asistanı (deterministik olarak) zor sınav soruları üreten bir program yazmayı başardı. Şimdi, karşılık gelen cevapları üreten bir program yazmak istiyor. Examiner Sorun bu her zaman mümkün olup olmadığını sorar; Examiner Konjektür varsayarak belirtiyor, , öyle değil : sorunları ile geliyor onların çözümleri ile geliyor daha kolaydır.$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Daha resmi olarak, , girişinde polinom zamanında boyutunda bir Boole formülü üreten deterministik bir Turing Makinesi olsun . Bu tür tüm için olmadığını bilmek istiyorum , bir deterministik polinom zamanlı Turing Makinesi vardır olduğunu, girişi , çıkışlar ' ' ise bir tatmin atama ve "sahiptir " aksi takdirde.1 n n M M ′ 1 n 1 M ( 1 n ) $M$$1^n$$n$$M$$M'$$1^n$$1$$M(1^n)$$0$

varsayarsak , bu soru zaten sorulmuş veya cevaplanmış mı? Yanıt verilmezse , sonuçta ne tür ek varsayımlar ( örn. Tek yönlü işlevler?) Olabilir? Yukarıdakilerden herhangi birini yasaklayarak, "varsayımım" "yanıtlayan" TM her zaman mevcut değildir, ama sezginiz nedir?$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Teşekkürler!

Sorduğunuz soru, tekli NP = tekli P'ye eşdeğerdir, bu da dolgu ile NE = E'ye eşdeğerdir.

Başlıktan, belki de girdilerdeki dağılımın "zor" olacağı şekilde giriş / çıkış çiftleri oluşturmanın mümkün olup olmadığını sormak istediniz. Bunu yapma olasılığı P NP ile tek yönlü fonksiyonlar arasında bir yerde bulunmaktadır.$\ne$

Kısıtlı hesaplama modellerinde bunun mümkün olduğu bilinmektedir. Örneğin, AC veya altındaki parite veya çoğunluk fonksiyonları için giriş / çıkış çiftleri üretilebilir . Bkz . Dağılımların karmaşıklığı .$^0$

Soru: formül . Mu aittir ? { M ( 1 n ) ∣ n ∈ N ∧ M ( 1 n ) ∈ S A T } $M\in \mathsf{PF}$$\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$

$succinctSAT \in \mathsf{E} \implies$ Evet :

Formüllerin polinom zamanda üretildiği varsayımı , formülün kısaca verilebileceği anlamına gelir . zamanında tatmin olmalarına karar vermek istiyorsunuz .n O ( 1 $1^n$$n^{O(1)}$

Verilen biz bulabilirsiniz içinde polinom zamanda. Daha sonra , ve kullanılarak bit özlü bir şekilde ifade edilebilir . Biz kullanabilir algoritmayı zaman içinde bu karar .n | φ | φ lg N + O ( 1 ) M n s u c c ı n T S bir T e 2 O ( lg , n ) = n- O ( 1 $\varphi = M(1^n)$$n$$|\varphi|$$\varphi$$\lg n+O(1)$$M$$n$$succintSAT$$\mathsf{E}$$2^{O(\lg n)} = n^{O(1)}$

Evet :$\implies succinctSAT \in \mathsf{E}$

Let st bir devre verilen de tekli , ve öz ile kodlanan dizi hesaplar bir formül ve eğer ve döner sonucu , aksi. C M C $M \in \mathsf{PF}$$C$$M$$C$$\bot$

Varsayalım aittir . çözmek için verilen özlü formülü tek tek yazıyoruz ve daha sonra bunu çözmek için varsayımımızı kullanıyoruz.P s u c c i n c t S A $\{ M(1^n) \mid n\in \mathbb{N} \land M(1^n)\in SAT\}$$\mathsf{P}$$succinctSAT$

Soru: için polinom-zaman örnek-çözüm çiftleri halinde örnek zorlaştırabilir miyiz?$SAT$

Her zaman kendi başına zor olduğu için ne demek istediğimizi açıklığa kavuşturmak zorundayız (teorik olarak) ya her zaman evet diyen algoritma ya da her zaman hayır diyen algoritma ile çözülebilir. Bana öyle geliyor ki, tekdüzelik empoze ederek bu sorunu aşmaya çalıştınız. Kriptografik terimlerle düşünüldüğünde, düşmana açıklanmayan bazı bilgiler olmadan, rakibin protokolü simüle edebileceği için hesaplamanın geri kalanını gizlemenin bir anlamı yoktur.

Örnek-çözüm çiftleri üreten bir polinom-zaman algoritmamız olduğunu varsayın. Düşman, biliyorsa ve bulmak zor değilse cevabı bulmak için aynı algoritmayı kullanabilir . Daha makul bir yol, bu sorunu çözmek için rastgele seçilmiş bir gizli anahtar kullanmak ve olasılık koşulunu sağlamak için sertlik koşulunu gevşetmektir: hiçbir polinom-zaman algoritması (gizli anahtarı bilmeden) yüksek olasılıklı bir çözüm bulamaz.$n$$n$

Var etkin bir (kararlı) algoritması örneğin verilen bir rastgele seçilmiş , SAT örnekleri bir çift oluşturur ve cevap şekilde herhangi bir etkin (olasılıksal / muntazam olmayan) Düşman algoritması , tarafından üretilen SAT örneklerini ihmal edilemez bir olasılıkla doğru bir şekilde çözebilir mi?k ∈ { 0 , 1 } n φ k w k D $A$
$k \in \{0,1\}^n$
$\varphi_k$$w_k$
$D$
$A$

Veya daha resmi olarak,

Orada gibi tüm bu , bu şekilde tüm ve D ∈ P / p o l y S A T ( A ( k ) 1 ) = A ( k ) 2 k P r k ∈ { 0 , 1 } n { D ( A ( k ) 1 ) = S A T ( A ( K ) 1 ) } $A\in \mathsf{PF}$$D \in \mathsf{P/poly}$$SAT(A(k)_1) = A(k)_2$$k$

$$\mathsf{Pr}_{k \in \{0,1\}^n} \{ D(A(k)_1) = SAT(A(K)_1) \} < \frac{1}{poly(n)}$$

O bulmak kolay sanki böyle bir fonksiyon tek yönlü işleve dönüştürülebilir görmek kolaydır dan φ k o zaman hesaplayarak cevap bulabilirsiniz A ( k ) 2 .$k$$\varphi_k$$A(k)_2$

Öte yandan, tek yönlü bir işlev olsun. F ( x ) = y'yi polinom boyutlu bir devre olarak ifade edebiliriz, çünkü f polinom zamanında hesaplanabilir (ve tüm kapılar için yeni değişkenler ekleyerek ve hesaplamanın doğruluğu için yerel olarak koşulu uygulayarak formüle dönüştürebiliriz) Tsien'in çevirisinde olduğu gibi). Y'yi parametre olarak düşünelim ve elde edilen formülü φ f , y ( x ) olarak gösterelim . Φ f , y ( x ) değerini karşılayan herhangi bir x olup olmadığını sorabiliriz$f$$f(x)=y$$f$$y$$\varphi_{f,y}(x)$$x$$\varphi_{f,y}(x)$. İhmal edilemeyen bir olasılıkla bu örneklerini çözen herhangi bir polinom-zaman algoritması , tek yönlü işlevi f bozacaktır . Ancak bu, düşmanın sadece formülün tatmin edici olup olmadığı gerçeğine değil, bir tanık bulması gerektiği gerçeğini kullanır (ama bence bu konuyu f'nin sert bitini kullanarak çözebiliriz ).$SAT$$f$$f$

Ayrıca bkz. Jan Krajicek'in “Rastgele Değişkenlerle Zorlama”, 2011 ispat karmaşıklık üreteçleri hakkındaki 29 ve 30. bölümleri .