Aralık örtüsü sorununun karmaşıklığı

Aşağıdaki sorunu$Q$ göz önünde bulundurun S : Bize 1 ≤ l i ≤ r i ≤ 2 n ile ve k aralıkları [ l i , r i ] verilir . Ayrıca 2 n tamsayı d 1 , … , d 2 n ≥ 0 verilir . Görev, minimum sayıda aralık seçmektir [ l i , r i$n$$k$$[l_i,r_i]$$1\leq l_i\leq r_i\leq 2n$$2n$$d_1,…,d_{2n}\geq 0$$[l_i,r_i]$Bu tür her bir söz konusu , en azından d i tam sayı içeren aralıklarla i seçilir.$i=1,…,2n$$d_i$$i$

polinom zamanında çözülebildiğini görmek zor değildir (aşağıya bakınız).$Q$

Şimdi aşağıdaki biraz değiştirilmiş sorunu$Q’$ göz önünde bulundurun S ′ : Sorunun girişi öncekiyle aynıdır. Ancak bu görev artık aralıklarla az sayıda seçmektir böyle her için bu , en azından d 2 i - 1 tam sayı içeren aralıkları 2 i - 1 ya da en azından d 2 i tam sayı içeren aralıkları 2 i seçilir (“ya da” ile olağan mantık ya da anlamına geliriz).$i=1,…,n$$d_{2i-1}$$2i-1$$d_{2i}$$2i$

Sorum: Can polinom sürede çözülecek?$Q’$

verimli bir şekilde çözmenin iki yolu :$Q$

Basit bir açgözlü algoritma: Soldan sağa doğru aralıkları gözden geçirin ve sayılarını “tatmin etmek” için sadece gerektiği kadar az aralık seçin . Farklı aralıklar arasında bir seçenek olduğunda, maksimum sağ bitiş noktasına sahip olanları seçin.$d_i$

Bir tamsayı programı: Her aralık için , x i = 1 i ile bir karar değişkeni x i ∈ { 0 , 1 } girin , aralık seçilirse. Amaç en aza indirmek için x 1 + ... + x k kısıtlamaları, konu Σ j : i ∈ [ l J , r j ] x j ≥ d $[l_i,r_i]$$x_i\in\{0,1\}$$x_i=1$$x_1+…+x_k$$\sum_{j:i\in[l_j,r_j]} x_j\geq d_i$. Bu tamsayı programının kısıtlama matrisi ardışık olanlar özelliğine sahiptir ve bu nedenle bu programın doğrusal programlama gevşemesi bir tamsayı optimal çözümüne sahiptir.

Herhangi bir ipucu ve referanslar için teşekkürler!

Yerleri aralıkları burada Q'nun her örneği Çoklu Seti Kapak Problem, bir örneği dönüştürülebilir talep noktalarının ardışık dizisi (= tamsayı kapsayan, d , i ).$[l_i,r_i]$$d_i$