NP-Complete problemlerinde Polinom olarak çözülebilen problemlerin aşırı büyük bir gizli alt kümesi olabilir mi?

Diyelim ki P! = NP.

3-SAT örneklerini her zaman kolay yapabileceğimizi biliyoruz. Zor örnekler olduğuna inandığımız şeyi de üretebiliriz (çünkü algoritmalarımız bunları hızlı bir şekilde çözemez). Belirli bir örnek boyutu (n) için yalnızca Poli (n) veya daha küçük boyutlu Poli (n) (hatta sabit) örnekler olduğu sürece, sert örnek kümesinin keyfi olarak küçük olmasını engelleyen bir şey var mı?

Zor bir 3-SAT örneği için, NP-Tamamlama azaltma döngüsü boyunca döngü yoluyla azalttığı tüm 3-SAT örnekleri kümesini eklememiz gerekir, ancak bu zor örneklerin sayısına çok fazla eklemeyi öngörmüyorum .

Bu dünyada, istisnai birkaçı dışında tüm NP tam problemlerini polinom olarak çözen bir algoritma oluşturabiliriz.

Düzenleme: Sorunun daha yumuşak bir varyantı: P! = NP göstermiş olsak bile, n-3-SAT boyutu problemleri oluşturmak için verilen bir yöntemin aslında bazı gerekli olasılıklarla zor bir şekilde üretilip üretilmediğini nasıl bilebiliriz? Sadece P! = NP'den bilmenin bir yolu yoksa, zor bir NP-tam problemi üretebileceğimizi göstermek için ne gerekir?

1) Tam olarak ne anlama geldiğine bağlı olarak, Kaveh'in gözlemindeki sonuç şu şekilde güçlendirilebilir: $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ için $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$temelde Mahaney Teoremini kullanarak. Yani, SAT'ı çözen ve zamanında çalışan bir algoritma varsa$\leq p(n)$ tüm uzunluk örneklerinde $n$ muhtemelen hariç $q(n)$ bu tür örnekler, nerede $p$ ve $q$ ikisi de polinomdur, o zaman aslında $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$. Bkz. Örneğin Meyer ve Paterson ve içindeki referanslar veya Schoning'in "Karmaşıklık ve Yapı" monografı . Eğer bu "zor vakalar" fikrinizi yakalarsa,$poly(n)$ her biri için birçok zor örnek $n$varsayarsak $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$.

FYI, bu tür algoritmalar bazen "neredeyse polinom zamanı" için "apt" veya "APT" algoritmaları olarak adlandırılır (daha modern karmaşıklık sınıfıyla karıştırılmamalıdır) $\mathsf{almostP}$eşit olan $\mathsf{BPP}$).

2) Yukarıdaki gibi daha da güçlendirilebilir. üstlenmek$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$. Daha sonra yukarıdaki, SAT ve herhangi bir polinomu çözen herhangi bir algoritma için$p$, algoritmanın daha fazlasını aldığı süper polinom boyutunun bir dizi örneği vardır $p(n)$saati. Ancak küme algoritmaya bağlı olabilir.

Daha güçlü sonuç nicelleştiricileri değiştirir ve şu sonuca varır: H süper polinom boyutu vardır ("sert" için), herhangi bir A algoritması çözme SAT ve herhangi bir polinom p için, A $p(n)$H'nin sonlu olarak pek çok unsuru hariç hepsi böyle bir H'ye karmaşıklık çekirdeği denir (boyut varsayımı karmaşıklık çekirdeği tanımının bir parçası değildir). Karmaşıklık çekirdeklerinin tanımı ve varlığı Lynch tarafından verildi . Az önce alıntıladığım sonuç Orponen ve Schoning tarafından kanıtlandı .

Kimse Impagliazzo'nun ünlü "Beş dünya" gazetesinden bahsetmedi.

http://www.cs.ucsd.edu/users/russell/average.ps

bu soruya başka bir bakış açısı (Mahaney teoremine yapılan başvurunun dışında). SAT'deki "geçiş noktası", zor örneklerin olasılığının en üst düzeye çıkarıldığı bir "kritik nokta" etrafında bu kolay ve zor örnek dağıtımı espeni fenomeni üzerine yapılan bir çalışmadır. konuyla ilgili literatür uzun ve karmaşıktır. hem ampirik hem de analitik yaklaşımlara sahiptir. fizik / termodinamik ile derin bağları vardır. [3] maalesef şu anda bu çok önemli ve temel karmaşıklık teorisi konusuna Wikipedia girişi yok. ayrıca, konuyla ilgili çok sayıda genel veya "standart" anket yapılmamıştır. genel olarak SAT [1] ve TCS faz geçişlerinde başlamak için yakın zamanda yapılan bir ref. sorunuz da "gerçekten iyi bir cevap temelde neredeyse P olur"$\stackrel{?}{=}$NP kanıtı. "

Belirli bir örnek boyutu (n) için yalnızca Poli (n) veya daha küçük boyutlu Poli (n) (hatta sabit) örnekler olduğu sürece, sert örnek kümesinin keyfi olarak küçük olmasını engelleyen bir şey var mı?

yine Mahaney teoremi (biraz farklı bir şekilde ifade edilmiş) bunu doğrudan cevaplar. Buna bakmanın bir başka yolu, örneklerin dağıtımını bazı anahtar / karakteristik yollarla daraltma girişimlerinin NP-tam fonksiyonlarına yol açmasıdır. monoton devre karmaşıklığından bunun bir örneği "dilim fonksiyonları" dır. [2]

[1] Faz Geçişinde Memnuniyetin Öngörülmesi Lin Xu, Holger H. Hoos, Kevin Leyton-Brown

[2] Paul ES Dunne: Merkezi Dilim Fonksiyonlarının Karmaşıklığı. Theor. Comput. Sci. 44: 247-257 (1986)

[3] Rastgele Memnuniyet Problemlerinin Analitik ve Algoritmik Çözümü M. Mezard, G. Parisi, R. Zecchina

[4] NP-tam problemlerinde faz geçişleri: Moore'un olasılık, birleştirici ve bilgisayar bilimi için bir meydan okuma