Bir matris kümesinin tüm ürünlerinin sonunda sıfıra eşit olup olmadığını kontrol etme

Aşağıdaki sorunla ilgileniyorum: tamsayı matrisleri verildiğinde $A_1,A_2, \ldots, A_k$, bu matrislerin her sonsuz ürününün sonunda sıfır matrise eşit olup olmadığına karar verir.

Bu araçlar tam olarak öyle düşündüğünü: Biz matrislerin kümesi diyecekler $\{A_1, \ldots, A_k\}$ ürünlerinin sonunda eşit sıfır tüm orada eğer o özelliğine sahiptir değil sonsuz bir dizi var $i_1, i_2, i_3\ldots$ , hepsi $\{1, \ldots, k\}$ , öyle ki

$$A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_l} \neq 0$$ herkes için $l$ .

Her ürünün nihayetinde sıfıra eşit olup olmadığına karar verme sorunu daha önce incelenmiş midir? Karar verilebilir mi?

Kararsız olan matris mortalitesi ile ilgili gibi görünebilir, ancak net bir bağlantı görmüyorum.

Sorunuz olmadığını eşdeğerdir bir nilpotentlik cebir üretmek sırayla her birine denktir, A i nilpotenttir olmak . Bu nedenle sadece karar verilebilir değil, aynı zamanda ω matris çarpımının üssü olan ˜ O ( n 2 ω ) zamanında .$A_1, \dotsc, A_k$$A_i$$\tilde O(n^{2 \omega})$$\omega$

Let tarafından oluşturulan birleştirici cebri olarak A ı tüm doğrusal kombinasyonlarını almak olup: A i ve bunların tüm sonlu ürünler. Bir denir nilpotentlik bazı varsa , N , her ürün, öyle ki , N unsurları A sıfırdır.$\mathcal{A}$$A_i$$A_i$$\mathcal{A}$$N$$N$$\mathcal{A}$

İlk olarak, durumunuzun neden nilpotent olduğunu ima ettiğini görelim . Bu Konig Lemma'sı (kompakt) dan şöyle: uzunluk her dize n alfabenin üzerine { 1 , ... , k } bir ürüne karşılık gelir A 1 , ... , A k uzunluğunun n bariz bir şekilde. Düğümleri doğal olarak { 1 , … , k } üzerindeki dizelerle iki yönlü yazışma içinde olan sonsuz k -kök köklü ağacı düşünün . T alt ağacını düşünün$\mathcal{A}$$n$$\{1, \dotsc, k\}$$A_1, \dotsc, A_k$$n$$k$$\{1, \dotsc, k\}$$T$karşılık gelen ürün bu düğümden oluşan sıfırdan farklıdır. Konig'den Lemma, eğer T sonsuzsa, o zaman sonsuz bir yola sahip olduğunu (mülkünüzü tam olarak ihlal ettiğini), bu nedenle T'nin sonlu olduğunu söylüyor . Daha sonra N'yi T'deki herhangi bir dizenin maksimum uzunluğu olarak alabiliriz . Yani mülkünüz A'nın nilpotent olduğunu ima ediyor .$A_i$$T$$T$$N$$T$$\mathcal{A}$

Her bir elemanı yana tersi de doğrudur ürünlerinin lineer bir kombinasyonu olan A i .$\mathcal{A}$$A_i$

Daha sonra, n × n matrislerinin bir alt cebiri ve dolayısıyla sonlu boyutlu olduğuna dikkat edin .$\mathcal{A}$$n \times n$

Son olarak: karakteristik sıfırdaki sonlu boyutlu çağrışımsal bir cebir nilpotent elementlerin temeline sahiptir (gidip gelme - bu Yuval'ın cevabı ile çelişen kısımdır) nilpotent ise (bakınız, örneğin, burada ).

Böylece, probleminizi çözmek için, (en genişlik ilk aramanın lineer-cebir versiyonu ile) tarafından oluşturulan ilişkisel cebir için bir temel bulun ve temeldeki her matrisin nilpotent olduğunu kontrol edin. Üst sınır ˜ O ( n 2 ω ) , ilk genişlik araştırmasında n 2 değişkeninde doğrusal denklemler sisteminin çözülmesinden gelir . Olarak loş A ≤ n 2 , bu çünkü BFS değil, son derece uzun ve olabilir , n x n bir matris kontrol etmek amacıyla matrisler bir olan nilpotentlik bir ihtiyacı sadece kontrol A , n$A_i$$\tilde O(n^{2\omega})$$n^2$$\dim \mathcal{A} \leq n^2$$n \times n$$A$ .$A^n = 0$

1995'te bu (oldukça önemsiz bir problem) problemi için bir poli-zaman algoritması aldım, yani eklem spektral yarıçapının (JSR) sıfır olup olmadığını kontrol etmek için: http://en.wikipedia.org/wiki/Joint_spectral_radius

Algoritmanın arkasındaki hikaye kabaca şu şekildedir: Blondel ve Tsitsiklis yanlış bir şekilde boole matrisleri için JSR <1'in NP-HARD olup olmadığını kontrol ettiğini belirtmiştir. Herhangi bir tamsayı matrisi kümesi için JSR eter sıfır ya da daha büyük ya da 1'e eşittir. Bu yüzden ifadelerine karşı olan örnek algoritmamdı (kağıtlarına bakınız). Ana ahlak: önce Wikipedia'ya danışın!

Sorduğunuz soru, matris kümesinin eklem spektral yarıçapının (JSR) kesinlikle birinden daha az olup olmadığına karar vermekle tamamen eşdeğerdir. Bu sorunun karar verilebilirliği bir süredir açık kalmıştır. (Kontrol teorisinde, bu, anahtarlamalı doğrusal sistemlerin keyfi anahtarlama altında kararlılığının karar verilebilirliğine eşdeğerdir.)

Sorunuzun aşağıdaki varyantının kararsız olduğu biliniyor: Sonlu bir kare matris seti verildiğinde, tüm ürünlerin sınırlı kalıp kalmayacağına karar verin; buraya bakın .

Yukarıdakilerin kararsızlığı, 47x47 boyutunda sadece 2 matrisiniz olsa bile geçerli kalır: buraya bakın .

JSR dilinde, "JSR nedir?" karar verilemez (yukarıdaki referanslara bakın), ancak "JSR < 1 ?" açık. Son soru "rasyonel sonluluk varsayımı" ile ilgilidir: Rasyonel sonluluk varsayımı doğruysa, sorduğunuz soru karar verilebilir.$\le 1$$< 1$

Son olarak, P = NP olmadıkça, JSR polinom zamanında ( bu makalede tanımlanan tam anlamıyla) yakın olamaz .

Sonuç olarak, etkili bir algoritma iddia eden yukarıdaki cevaplardan biri yanlış olmalıdır.

Olumlu tarafta, JSR'ye yaklaşmak için çeşitli algoritmalar (örn. Yarı-yan programlamaya dayalı) vardır. Farklı algoritmalar farklı performans garantilerine sahiptir. Örneğin aşağıdaki Bkz (- ama aynı zamanda referanslara bakın utanmadan kendim ve meslektaşları tarafından oradaki ).

Bazı özel durumlarda, sorduğunuz soru polinom zamanına karar verilebilir. Örneğin, matrisler simetrik olduğunda veya birinci sırada olduğunda veya işe gidip gelmediklerinde.

Son olarak, konuyla ilgili harika bir kitap şu .

Düzenleme: Bu cevap ne yazık ki yanlış. Hata aşağıda vurgulanmıştır. Matrisleri transpoze etmemize izin verilirse argüman işe yarar.

Bir lemmayı kanıtlayarak başlıyoruz.

Lemma. Let $A$ be an $n\times n$ matrix and let $N$ be the $n\times n$ matrix with ones on the secondary diagonal. If $AN^t$ and $N^tA$ are nilpotent for all $t \geq 0$ then $A = 0$. Correct conclusion: $A$ is upper triangular with zeroes on the diagonal. (The original conclusion is recovered if we are also allowed to multiply by powers of the transpose of $N$.)

Proof. Suppose for example that $n = 3$, and write

$$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ We start by calculating $AN^2$: $$AN^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & d \\ 0 & 0 & g \end{pmatrix}.$$ This matrix is in triangular form, and so if $AN^2$ is nilpotent then $g = 0$. Continue with $AN^1$: $$AN^1 = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a & b \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & h \end{pmatrix}.$$ Again the matrix is in triangular form, and so if $AN^1$ is nilpotent then $d = h = 0$. Continuing, $$AN^0 = \begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & e & f \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix}.$$ As before, we conclude that $a = e = i = 0$, and so $A$ is upper triangular with zeroes on the diagonal.

If we now consider $N^2A,N^1A,N^0A$ instead, then we conclude that $A$ is lower triangular with zeroes on the diagonal. In fact, we don't get anything new from considering $N^tA$. Therefore $A = 0$. $\square$

This is how the proof would go if the original version of the lemma were correct. Now back to the problem at hand. Say that the matrices $A_1,\ldots,A_k$ satisfy property P if for every infinite sequence $i_1,\ldots \in [k]$, we have $A_{i_1} \cdots A_{i_m} = 0$ for some $m$. If one of the matrices $A_i$ is not nilpotent then property P clearly fails, so suppose that all the matrices are nilpotent. If all matrices commute then property P clearly holds, so suppose that $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$. Change basis so that $A_1$ is in Jordan normal form, and let the corresponding decomposition of the vector space be $V_1 \oplus \cdots \oplus V_t$. Let $V_i$ be a vector space on which $A_1 A_2 \neq A_2 A_1$; note that $\dim V_i > 1$ since $0$ commutes with everything. Restricted to $V_i$, $A_1 = N$ and $A_2 \neq 0$. Therefore the lemma implies that for some $t \geq 0$, either $A_2 A_1^t$ or $A_1^t A_2$ is not nilpotent, and therefore property P clearly fails.

Summarizing, property P holds iff all matrices are nilpotent and all of them commute.