Ne zaman

Nash Equilibria genel olarak hesaplanamaz. bir$\epsilon$-Nash dengesi, rakiplerin stratejileri göz önüne alındığında, her oyuncunun kendi içinde elde ettiği bir dizi stratejidir. $\epsilon$olası maksimum getirinin Bulmak$\epsilon$-Nash dengesi, verilen $\epsilon$ ve bir oyun, $\mathsf{PPAD}$-tamamlayınız.

Kesinlikle tanımlara göre, belirli bir stratejinin $\epsilon$-Nash dengesi herhangi bir Nash dengesinin stratejilerine yakın herhangi bir yerdedir. Bununla birlikte, literatürün, "yaklaşık bir Nash dengesini hesapla" demek anlamına geldiğinde, "yaklaşık olarak bir Nash dengesini hesapla" gibi bir ifade kullandığını sık sık görüyoruz.

Bu yüzden, ikincisinin birinciyi ne zaman ima ettiğini merak ediyorum; yani hangi oyunlar için bekleyebiliriz$\epsilon$-Nash dengeleri Nash dengesine "yakın" olacak mı?

Daha resmi olarak, bir oyunum olduğunu varsayalım $n$ oyuncular ve bir dizi strateji profili $(s_1^{(1)},\dots,s_n^{(1)}), (s_1^{(2)},\dots,s_n^{(2)}), (s_1^{(3)},\dots,s_n^{(3)}), \dots$.

Her biri $(s_1^{(i)},\dots,s_n^{(i)})$ bir $\epsilon_i$-Nash dengesi ve sırası $\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,\dots$ sıfıra yakınsar.

Sorularım:

1. Tüm stratejiler ne zaman (hangi koşullar altında / varsayımlar altında) birleşir? Yani, her oyuncu için$j$, $s_j^{(1)},s_j^{(2)},s_j^{(3)},\dots$ mutlaka birleşir.

2. Başka hangi şartlar altında bu dizinin sınırı aslında oyunun Nash dengesidir? (Bana öyle geliyor ki başka varsayımlara gerek yok; yani , tüm stratejiler yakınsa, sınır bir NE olmalıdır.)

3. Bilgi işlem için bir algoritma ne zaman $\epsilon$-Nash dengesi mutlaka bir Nash dengesinin yaklaşık hesaplama stratejileri için bir algoritma mı gerektirir? Yukarıdaki koşullar yeterli mi?

Çok teşekkürler!

Düzenle 2014-03-19

Rahul'ın cevabındaki referansı okuduktan sonra, $\ell_1$yakınsak diziler yerine dağılımlar arasındaki mesafeler. Bu yüzden soruları yeniden anlatmaya çalışacağım ve son zamanlarda bazı düşünceler de ekleyeceğim.

1. (Eh, bu gerçekten bir cevaba sahip olmak için çok algoritmaya bağımlı. Algoritma kısıtlamaları olmadan, iki farklı Nash dengesine sahip olabilirsiniz ve daha sonra, daha küçük ve daha küçük taktığınızda $\epsilon$ algoritmaya, $\ell_1$ ardışık çıkışlar arasındaki mesafe hala büyük olabilir, çünkü çıkışlar denge arasında salınmaktadır.)

2. varsaymak $p$bir strateji profilidir, yani oyuncuların stratejileri üzerindeki ürün dağılımı. Hangi oyunlar için söyleyebiliriz$p$ bir $\epsilon$-Nash dengesi $\|p - q\|_1 \leq \delta$ bazı Nash dengeleri için $q$, nerede $\delta \to 0$ gibi $\epsilon \to 0$? (Ödemelerin sınırlı olması durumunda, görüşmecinin bekletildiğini unutmayın$1$.)

   Bu aslında zor çünkü "oyun" dediğimiz karmaşıklık ayarında aslında $n$, saf stratejilerin sayısı ("eylemler"). Yani$n \to \infty$ gibi $\epsilon \to 0$ve göreli oranlar önemlidir. İşte cevabın "tüm oyunlar" olmadığını gösteren basit bir karşı örnek. Diyelim ki bir dizi azalan$\epsilon_1,\epsilon_2,\dots$. Sonra her biri için$\epsilon_n$, iki oyunculu oyunu $n$ bir oyuncu ilk eylemi oynarsa, $1$diğer oyuncunun oynadığı oyun ne olursa olsun; bir oyuncu ikinci aksiyonu oynarsa,$1-\epsilon_n$diğer oyuncunun oynadığı oyun ne olursa olsun; ve eğer bir oyuncu başka bir aksiyon oynarsa,$0$ diğer oyuncu ne oynarsa oynasın.

   Böylece her oyun $n$ sahip $\epsilon_n$- maksimumda çok uzak olan denge (her ikisi de ikinci eylemi oynar) $\ell_1$ tek Nash dengesine olan uzaklık (her ikisi de ilk eylemi oynar).

   Yani, iki ilginç alt soru:

   1. Sabit bir oyun için ve sabit $n$, "yeterince küçük" olsun $\epsilon$ yukarıdaki koşul geçerlidir (hepsi $\epsilon$dengeler Nash dengesine yakındır).
   2. Belki de aynı soru esasen, ancak getirilerdeki farklılıklar aşağıdaki gibi bir sabitle sınırlandırılmışsa koşulun geçerli olup olmadığı $n \to \infty$.

3. (2) ile aynı soru, ancak algoritmalarla hesaplanan gerçek denge ile ilgili. Muhtemelen algoritmik / yapıcı cevaplar alacağız ya da hiç cevap vermeyeceğiz, bu yüzden ayrım çok önemli değil.

Aşağıdaki makale en azından yaklaşık dengenin tam dengeye yakın olduğu fikrini resmileştirmekte ve ilgili bazı yapısal sonuçları kanıtlamaktadır.

Pranjal Awasthi, Maria-Florina Balcan, Avrim Blum, Or Sheffet ve Santosh Vempala (2010). Yaklaşık istikrarlı oyunların Nash dengesinde. Üçüncü Uluslararası Algoritmik Oyun Teorisi Konferansı Bildiriler Kitabı (SAGT'10), 78-89.

Özellikle, makale 3. soru için bir oyun sınıfı örneği vermektedir.