Grafik eşleme sorununun geçmişi ve durumu

Bu sorun hakkında daha fazla bilgi edinmenin zorluğunun bir kısmı, grafik eşleştirme probleminin çok daha ünlü kuzeni olan eşleştirme probleminden farklı olması, ancak arama motorlarını kullanırken ondan ayırt edilmesi zor olmasıdır.

Verilen iki grafik ve öyle kiburadaki görev, bu bujeksiyonun ve kenarları arasında mümkün olduğunca fazla yazışma sağlayacak şekilde bir bijection bulmaktır .$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$|V| = |V'|$$\pi : V \rightarrow V'$$G$$G'$

Başka bir deyişle, eğer ve bitişiklik matrisleri ise, en üst düzeye çıkarmak istiyoruz$M$$M'$

$\sum_{v,w \in V} M_{v,w} \cdot M'_{\pi(v),\pi(w)}$

Bu sorun, özel bir durum olarak grafik izomorfizmini açıkça içerir ve (polinom olmayan!) Bir azalma altında iki taraflı eşleşmeye indirgenebilir.

Ne tür algoritmalar vardır ve karmaşıklığı hakkında bilinenler nelerdir?

Makaleden Yaklaşık Grafik İzomorfizması :

Graph Isomorphism'in optimizasyon versiyonlarını inceliyoruz. Verilen iki grafik , bir bijection bulmak istiyoruz gelen için eşleşme sayısını (kenarlarına ya da olmayan kenarları eşlenmiş olmayan kenarları eşlenmiş kenarlar) en üst düzeye çıkarır. Biz vermek bir sabit faktör için o zaman yaklaşım düzeni , bir hesaplar -approximation. Bunu , Arora ve ark.'nın zaman katkısı hata yaklaşım algoritmasını birleştirerek kanıtlıyoruz . [Matematik. Program., 92, 2002] basit bir ortalama algoritması ile. Ayrıca, ilgili uyumsuzluk sorununu da (yanlış eşleşmeler) ele alıyoruz ve bunun NP açısından zor olduğunu kanıtlıyoruz.$G_1,G_2$$π$$V(G_1)$$V(G_2)$$n^{O(\log{n})}$$α < 1$$α$$n^{O(\log{n})}$$α$ -approximate herhangi bir sabit faktör için . Ayrıca, 0.94 faktörün ötesinde kenarlara eşlenen maksimum kenar sayısına yaklaşık olarak yaklaşmanın NP-zor olduğunu da gösteriyoruz.$α$

Senin sorunun hakkında hiçbir fikrim yok. Ama PDFS İLE Grafik Eşleştirme algoritmalarıyla ilgili büyük (est) bir kağıt koleksiyonu biliyorum . Seth Pettie için alkış!

@Austin Buchanan'ın yaklaşık Grafik İzomorfizması üzerinde yukarısına işaret ettiği yazı, istenen sürüme karşılık gelmiyor gibi görünüyor. Bitişiklik matrisinin girişe sahip olduğunu varsayıyorum, bu durumda amaç sadece eşleşen kenarları ölçmektir. Yaklaşık Grafik İzomorfizmi modeli, eşleştirilen eşleşmeyen kenarları ölçer ve bu da yaklaşma açısından biraz daha kolay olmasını sağlar.$0,1$

Sorulan sorunun en azından şu anda sadece bir polinom-yaklaşımı kabul eden - yoğun altgraf problemi kadar zor olduğu görülmektedir. Algoritmalar ve sertlik açısından daha fazla ayrıntı ve mevcut durum için bkz. Http://arxiv.org/abs/1001.2891 ve http://arxiv.org/abs/1110.1360 .$k$

Şimdi indirgeme için. Varsayalım ki , bir grafiğinde -yoğun altgraf problemini çözmek istiyoruz ; Biz bir alt kümesini bulmak istiyoruz olmasıdır düğümleri neden grafikte kenarların sayısını en üst düzeye yani . -Düzgeçleri ve izole köşelerde bir klikten oluşan bir grafik olacak şekilde ayarlayarak ve olarak ayarlanarak bunu sorununuza azaltabilirsiniz .$k$$H$$k$$S$$G[S]$$G$$k$$n-k$$G'$$H$