İstikrarlı Evlilik Sorununun Uzatılması?

Bu bir sosyal bilimler sorusuna daha çok bir TCS sorusundan daha fazla gelebilir, ama öyle değil. Kararlı Evlilik Problemini tanımlayan " Rastgele Algoritmalar " okunurken aşağıdakiler okunabilir (p54)

Diyerek şöyle devam etti: "Her tercih listesi için en az bir istikrarlı evlilik olduğu gösterilebilir. (İlginçtir ki, bu, eşit sayıda nüfusa sahip eşcinsel bir tek eşli toplumda durum böyle değildir ..."

İstikrarlı Evlilik Sorununun, eşcinsel bir tek eşli toplum veya belirli bir nüfus alt kümesinin daha büyük kümeden farklı bir kurallar dizisini izlediği bir toplum içeren bir tür istikrarlı duruma izin veren çok basit uzantıları var mı?

Olumlu olarak, böyle bir eşleştirme yapan algoritmalar var mı?

3 tip insan hakkında açık bir varsayım var. Erkeklerin kadın ve köpekleriniz olduğunu varsayalım ki erkeklerin kadınlar üzerinde tercih listeleri, kadınların köpeklerde tercih listeleri ve köpeklerin erkeklerde tercih listeleri vardır. Her zaman istikrarlı bir evlilik var mı?

(3 tip toplumdaki diğer tercih yapıları için cevapların negatif olduğu bilinmektedir).

Başka bir yorum, istikrarlı evliliğin boş olmayan bir çekirdeği temsil ettiği ve Scarf tarafından boş olmayan çekirdeğin varlığını ima eden iyi bilinen bir durumun olduğudur. Eşarp koşullarının orijinal istikrarlı evlilik problemi ve ev tahsisi problemi için karşılandığı bilinmektedir. (Ama erkek / kadın / köpek sorunu için başarısız oldu).

Bazı referanslar:

• Eşarp'ın makalesine bir referans: HE Eşarp, Bir kişilik oyunun çekirdeği , Econometrica 35 (1967) 50-69.$N$
• Scarf'ın hayati lemması için çeşitli uygulamaları gösteren ve diğer birkaçını alıntılayan bir makale: (Özellikle, Aharoni ve Holzman'ın hipergrafları için Gale-Shapley teoreminin kesirli bir versiyonu açıklanmıştır): R. Aharoni ve T. Fleiner Eşarp, J. Combin. Teori Ser. B 87 (2003), 72-80.
• Eriksson ve ark.'nın (Math Soc Sci 2006) her bir cinsiyetten en fazla 4'ü olduğunda erkek-kadın-köpek probleminin bir çözümü ortaya çıkmaktadır.

Sorduğunuz şeye artık "Kararlı Evlilik Sorunu" denmiyor. Buna karşılık, buna "Kararlı Oda Arkadaşları Sorunu" denir. Wikipedia'ya göre :

Matematikte, özellikle oyun teorisi ve kombinatorik alanlarında, kararlı oda arkadaşı problemi (SRP), istikrarlı bir eşleşme bulma sorunudur - her bir üyenin, her biri farklı eşleşen bir kümeden hiçbir elemanın bulunmadığı bir eşleşme. çiftleri diğerini maçlarına tercih ediyor. Bu istikrarlı evlilik probleminden farklıdır, çünkü istikrarlı oda arkadaşı problemi bir setin erkek ve kadın alt kümelerine bölünmesini gerektirmez. Herhangi bir kişi aynı setteki herkesi tercih edebilir.

Genellikle şu şekilde ifade edilir:

Kararlı Oda Arkadaşları sorununun (SRP) belirli bir örneğinde, 2n katılımcının her biri diğerlerini kesinlikle tercih sırasına göre sıralar. Eşleştirme, n ayrık (sırasız) katılımcı çiftidir. SRP örneğinde eşleşen bir M, her biri diğerini M'deki partnerine tercih eden iki katılımcı x ve y olmadığında stabildir. Böyle bir çiftin M'yi bloke ettiği veya buna göre bir engelleme çifti olduğu söylenir. M.

Wikipedia sorunuzun yanıtını tartışıyor. Kararlı durumun her zaman bulunamadığını söylüyor, ancak Irving (1985) nedeniyle etkili bir algoritma var.

Düzenle:

SRP için birkaç doğal gevşeme düşünülebilir: "Her biri diğerini M'deki partnerine tercih eden iki x ve y katılımcısı yok", bunu gerektirebilir:

1. İnsanların en azından bir kısmı oda arkadaşlarından memnun. Burada tatmin edilebilirlik farklı yorumlanabilir. Örneğin:
   • Y'nin x'in ilk tercihi olması durumunda bir çift (x, y) 'nin tatmin olduğu söylenir, bunun tersi de geçerlidir.
   • X veya y'den birinin diğerinin ilk tercihi olması durumunda bir çiftin (x, y) tatmin olduğu söylenir.
   • Bir çiftin (x, y), x'in z'yi y'den daha fazla ve z'nin x'i w'den daha çok seveceği bir çift (z, w) varsa tatmin edici olmadığı söylenir.
   • ...
2. İnsanların en azından bir kısmı oda arkadaşlarından memnun değildir. (Bu gereklilik, memnuniyetin yorumlanmasına bağlı olarak yukarıdakilerden farklı olabilir .)

İstikrarlı Evlilik Sorununun bilinen İstikrarlı Oda Arkadaşı varyantına ek olarak, Ev Tahsis Sorunu da vardır. Bu versiyonda, sahip insanlar ve evler. İnsanlar evleri tercihlerine göre sıralarlar, fakat evler halk üzerinde herhangi bir tercih ifade etmezler. Abraham ve ark.'nın bu makalesi , maksimum kardinalite olan Pareto-optimal eşleşmeyi bulmak için bir algoritmayı tartışmaktadır.$n$$m$