O (k) dizisindeki en küçük k elemanlarını bulma

Bu web'de bulduğum ilginç bir soru. N numarası içeren bir dizi verildiğinde (bunlar hakkında hiçbir bilgi olmadan), diziyi doğrusal zamanda önceden işlemeliyiz, böylece 1 (<) k sayısı verildiğinde O (k) zamanında k en küçük öğeleri döndürebiliriz. <= n

Bu sorunu bazı arkadaşlarla tartışıyorum ama hiç kimse bir çözüm bulamadı; herhangi bir yardım mutluluk duyacağız!

hızlı notlar: -k en küçük elemanların sırası önemli değildir -dizideki elemanlar sayıdır, tamsayı olabilir ve olmayabilir (bu yüzden sayı tabanı sıralaması yoktur) -k işleme öncesi aşamasında k sayısı bilinmemektedir. ön işleme O (n) süresidir. O (k) zamanında fonksiyon (k en küçük elemanları bul).

zamanında değerleri dizisini önceden işleyin :O ( n $n$$O(n)$

• $i\leftarrow n$
• ise$i>2$
  • zamanında nin medyan değerini hesaplayınA [ 1 .. i ] O ( i $m$$A[1..i]$$O(i)$
  • bölüm içine ve , aynı zamanda.A [ 1 .. i / 2 - 1 ] ≤ m A [ i / 2 + 1 .. i ] ≥ $A[1..i]$$A[1..i/2-1] \leq m$$A[i/2+1..i]\geq m$
  • $i \leftarrow \lfloor i/2 \rfloor$

Toplam ön hesaplama süresi$O(1+2+4+...+n)\subseteq O(n)$

zamanında en küçük elemanlar için bir cevaplayın :A O ( k $k$$A$$O(k)$

• $l\leftarrow \lfloor \log_2 k \rfloor$
• seçin inci elemanı ve zaman olarakx A [ 2 l . 0,2 l + 1 ] O ( 2 l ) ⊆ O ( k $(k-2^l)$$x$$A[2^l..2^{l+1}]$$O(2^l)\subseteq O(k)$
• bölüm tarafından aynı anda$A[2^l..2^{l+1}]$$x$

$A[1..k]$ en küçük elementleri içerir .$k$

Referanslar:

• 1999 yılında, D- ve Zwick medyanını hesaplamak için bir algoritma elde içinde zaman içinde elemanları seçmek için bir algoritma elde edilir karşılaştırmaları, gelen elemanından daha kısa bir sürede sırasız elemanları karşılaştırmalar.2.942 n + o ( n ) k n 6 $n$$2.942 n + o(n)$$k$$n$$6n$

Sadelik için olduğunu varsayın . konumlarındaki öğeleri bulmak için doğrusal zaman seçim algoritmasını kullanın ; bu doğrusal zaman alır. Verilen , arayan bu şekilde ; olduğunu unutmayın . Sıradaki tüm öğeleri en fazla filtreleyin ve şimdi zamanında konumundaki öğeyi bulmak için doğrusal zaman seçim algoritmasını kullanın .2 m - 1 , 2 m - 2 , 2 m - 3 , … , 1 k t 2 t - 1 ≤ k ≤ 2 t 2 t ≤ 2 k 2 t k O ( 2 t ) = O ( k $n = 2^m$$2^{m-1},2^{m-2},2^{m-3},\ldots,1$$k$$t$$2^{t-1} \leq k \leq 2^t$$2^t \leq 2k$$2^t$$k$$O(2^t) = O(k)$

Açıklama: Önişlemenin zaman alacağı anlaşılıyor ve eğer dikkatli değilseniz bu durum böyledir. Ön işlemin doğrusal zamanda nasıl yapılacağı aşağıda açıklanmıştır:$\Theta(n\log n)$

while n > 0:
  find the (lower) median m of A[0..n-1]
  partition A in-place so that A[n/2-1] = m
  n = n/2

Yerinde bölümleme, hızlı sıralamadaki gibi yapılır. Çalışma süresi cinsinden doğrusaldır ve bu nedenle doğrusaldır. Sonunda, dizi biri aşağıdaki özelliği: her biri için , oluşur küçük elemanlar.A k A [ 0 .. n / 2 k - 1 ] n / 2 $n + n/2 + n/4 + \cdots + 1 < 2n$$A$$k$$A[0..n/2^k-1]$$n/2^k$

Önce min-yığın oluşturmak için $O(n)$ kullanın. Biz kullanabilirsiniz bilinmektedir $O(k)$ bulmak için $k$ bir min-yığın en küçük unsurları:

Frederickson, Greg N. , Min yığınında seçim için en uygun algoritma , Inf. Comput. 104, No. 2, 197-214 (1993). ZBL0818.68065 ..

Bulmak için doğrusal zaman seçimini kullanın , o zaman kullanarak quicksort bir bölme adımı yapmak büyük inci eleman k eksen olarak inci en büyük elemanı.$k$$k$