Bağımsız Üstel Rastgele Değişkenlerin Toplamı


12

Bağımsız üstel rassal değişkenlerin toplamı üzerinde keskin bir konsantrasyon sonucu kanıtlayabilir miyiz, yani X1,Xr bağımsız rasgele değişkenler olsun, öyle ki Pr(Xi<x)=1ex/λi . Let Z=Xi . P r ( | Z - μ Z | > t ) < e - t formunun sınırlarını kanıtlayabilir miyizPr(|ZμZ|>t)<et2/(λi)2 . Bu doğrudan chernoff sınırlarının varyans formunu kullanırsak ve dolayısıyla doğru olduğuna inanırsam izlerim, ancak okuduğum sınırlar sınırlılık gerektirir veya değişkenlerin sınırlılığına bağımlıdır. Birisi bana yukarıdakilerin kanıtını gösterebilir mi?


sadece chernoff kanıtını takip edin: üstel rasgele değişkenlerin üstel momentini bağlamak kolaydır.
Sasho Nikolov

Chernoff'un kanıtını tekrarlamaya çalıştım. Tüm olduğunda daha basit durum için yaptım λi=λ. Hafif bir koşulunda aradığım ilişki türünü bulabilirim t<nλ. Böyle bir durum doğal olarak ortaya çıkıyor mu yoksa çok iyi olmayan çözümümden mi kaynaklanıyor?
NAg

3
Lemma 2.8'i buradan kontrol edin eprint.iacr.org/2010/076.pdf
Sasho Nikolov

Evet bu mantıklı. Hatta onların lemmasının onlar üzerinde bir şartım var olmak yeterince küçük. Tamam o zaman çözümüm doğru görünüyor. Bağlantılar ve öneri için çok teşekkürler. t
NAg

1
x Pr [ X i < x ] = 1 - e - λ i x λ - 2 iPr[Xi<x]=eλixxPr[Xi<x]=1eλixλi2

Yanıtlar:


7

için , rvXi

p(Xi=x)=12λieλi|x|.

Bu Laplace dağılımı veya çift üstel dağılımdır. Varyansı . CDF2λi2

Pr[Xix]=112eλix
için .x0

Momenti üreten fonksiyonu olduğuXi

E euXi=11u2/λi2,
için . Bu gerçeği ve Chernoff sınırlarının ispatında standart olan üstel moment yöntemini kullanarak, ve , aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir|u|<λiX=iXiσ2=2iλi2

Pr[X>tσ]<et2/4,
sürece . Bu yazının Lemma 2.8 ispatında ayrıntılı bir türev bulabilirsiniz .t2σminiλi


Cevabınız için çok teşekkürler. Ancak benim uygulamada necessaily doğru değildir . Bununla birlikte, durumunda daha da yoğun bir konsantrasyon beklenebilir . Eğer aralığını kısıtlayan yaklaşımını kullanmazsak, ancak farklı durumunda bunun analizi yönetilemez hale gelirse böyle bir sonuç elde edebiliriz . . Bu cephede herhangi bir öneriniz var mı? t>t2σminiλi1/(1-x)e c x tλi st>2σminiλi1/(1x)ecxtλis
NAg

Bu olacak bazı kuvvetli el sallayarak, ama o kadar büyük değerler bekliyoruz sadece bir zaman büyük olasılıkla gerçekleşmesi olan küçük sayısı ortancasını aşançok fazla. ancak çift üstel değişkenlerin gaussianlardan daha ağır bir kuyruğu vardır ve az sayıda kişi buna sıkıca konsantre olamazX i | X i |XXi|Xi|
Sasho Nikolov

2
Elimden yukarıda yazdım belli değil anlayarak ediyorum: Ben kuyruk dışarı bu şekilde beklemek başka rv kuyruk gibi görünüyor çift üstel rv az sayıda böyle kuyruk toplamıdır olmamalı alt Gauss. X X XXX
Sasho Nikolov

3

Laplace dağıtımı için, Bernoulli sınırını kullanırsanız,

σ2=2Σiλ - 2 i

EeuiXi=i11u2/λi211u2σ2/2,
burada . Sonra klasik Chernoff yöntemini vermekσ2=2iλi2

Pr[iXitσ]1+1+2t22e11+2t2{(et/2+1)e2tet2/2+t4/8.

Bu sınırların ve sınırsız değerleri için geçerli olduğunu unutmayın . Sağdaki sınırlar iki olası rejimi göstermektedir. Küçük değerleri için `` normal '' konsantrasyonu alırken, büyük değerleri için elde ederiz. tek bir Laplace dağıtılmış değişkeni.λ i t e - t 2 / 2 T E - tλitet2/2te2t

bağlı iki durum arasında enterpolasyon izin verir, ancak neredeyse tüm durumlarda tek bir büyük ya sıkıca olacağını sanıyorum veya küçük kampında. tt11+2t2tt

Üstel dağılım için aynı teknikler bize nerede . Bu nedenle Yani hala normal görünen bir şey elde edersiniz, ama umduğumuz gibi yerine ile . Varyans açısından bir sınır elde etmenin mümkün olup olmadığını bilmiyorum. üzerinde çalışmayı deneyebilirsiniz , ancak bununla çalışmak kolay görünmemektedir. μ=Σi1/λiPr[(Σixi)-μtμ](t+1)e-tE-t2/2+T3/3. tμtσEeu(Xi-μEeuiXi11uμμ=i1/λi

Pr[(iXi)μtμ](t+1)etet2/2+t3/3.
tμtσEeu(Xiμ)2

Ayrıntıları çalışmak için zamanım yok ama bir varyans bağlı üstel olarak dağıtılmış rasgele değişkenler için bir sınır alabilirsiniz% 99,9 eminim. Moment üretme fonksiyonundaki sınırınız aşırı gevşek görünüyor.
Warren Schudy

@Warren Schudy, yaklaşımınız ne olurdu?
Thomas Ahle

Gördüğüm iki belirgin yaklaşım: 1. en.wikipedia.org/wiki/… 'de listelenen ikinci sınırın çalışması gerektiği gibi görünüyor. 2. Moment üreten fonksiyona bağlı bir sıkı bulun.
Warren Schudy

@WarrenSchudy Bernstein sınırı , ancak yalnızca . Sanırım bu Sasho'nun cevabına benziyor. T σ dak i λ i / 2Pr[iXitσ]et2/2tσminiλi/2
Thomas Ahle

Gauss tarzı sınırların bir noktada durması kaçınılmazdır. Üstel olarak dağılmış tek bir rastgele değişken bile eninde sonunda herhangi bir Gauss'tan daha yağlı kuyruklara sahiptir.
Warren Schudy
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.