Çapın doğrusal zamanda hesaplanabileceği grafik sınıfları

Hatırlayın çapı bir grafik bir uzun kısa yol uzunluğu . Bir grafik verildiğinde, hesaplamak için bariz bir algoritma tüm çiftlerin en kısa yol problemini (APSP) çözer ve bulunan en uzun yolun uzunluğunu döndürür. $G$ $G$ $\text{diam}(G)$

APSP problem, optimal olarak çözülebilir olduğu bilinmektedir çok sayıda grafik sınıfları için zaman. Genel grafikler için zamanında çalışan bir cebirsel grafik teorik yaklaşım vardır , burada matris çarpımı için sınırdır. Bununla birlikte, çapın hesaplanması, Yuster tarafından gösterildiği gibi APSP'ye eleştirel olarak bağlı değildir . $O(n^2)$ $O(M(n) \log n)$ $M(n)$

Doğrusal zamanda, çapın daha da hızlı hesaplanabileceği önemsiz bazı grafik sınıfları biliniyor mu?

Özellikle kordal grafikler ve blok grafikler gibi kordal grafiklerin alt sınıflarıyla ilgileniyorum. Örneğin , eğer , bir klik ağacı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilirse , bir kodal grafik çapının zamanda hesaplanabileceğini düşünüyorum . Böyle bir grafik ur-korda olarak da bilinir . $G$ $O(n+m)$ $G$

graph-theory graph-algorithms shortest-path

— Juho
kaynak

Çapın hesaplanması için, klik ağacı verildikten sonra, kordal grafikler ağaçlarla (neredeyse) aynı şekilde davranır. Benzer şekilde, bir aralık grafiğinde, baskın bir çift (herhangi bir AT-serbest grafikte mevcut olan) mutlaka çapı belirler.

— Yixin Cao

@YixinCao Ancak, genel olarak, bir korda grafiğinin sahip olabileceği farklı klibi ağaçlarının sayısı, köşe sayısı bakımından üsteldir. Dahası, her bir ağaçta çapın aynı olduğunu düşünmüyorum. Bence bu bir problem, ama bir ur-kordal grafikte, klik ağacının çapı inanılmıyor. Aklınızda başka bir şey mi var?

— Juho

k + 1

$k+1$

k

$k$

@YixinCao Tamam, şimdi daha iyi anlıyorum. Yine de, (hızlı) bir algoritma benim için hala açık değil. Ek ayrıntılarınız veya referanslarınız varsa, lütfen çekinmeyin!

— Juho

$v$ $v$

$\{\text{AT},\text{claw}\}$

$m = \Omega(n^2)$ $K_n$ $o(n^2)$ $O(m+n)$ $o(n^2)$

$(\text{rising sun}- K_2)$

_{(kaynak: graphclasses.org )}

Feodor F. Dragan, Falk Nicolai ve Andreas Brandstädt, LexBFS sıralaması ve grafiklerin güçleri , WG 1996, LNCS 1197, 166-180. doi: 10.1007 / 3-540-62559-3_15

$\log n$

Derek G. Corneil, Sözlükbilimsel Genişlik İlk Arama - Bir Anket , WG 2004, LNCS 3353, 1-19. doi: 10.1007 / 978-3-540-30559-0_1

— András Salamon
kaynak

O (n + m)

$O(n+m)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

Söz konusu blok grafikleri mesafe kalıtsaldır. Mesafe kalıtsal grafiklerin çapını hesaplamak için doğrusal bir zaman algoritması [1] 'de verilmiştir (bakınız Teorem 5).

[1] Dragan, Feodor F. Mesafe kalıtsal grafiklerde baskın klikeler. Springer Berlin Heidelberg, 1994.

— Juho
kaynak