Is

D. Bera, F. Green ve S. Homer (ACM SIGACT News'in s. 36, Haziran 2007 cilt 38, no. 2) tarafından yapılan "Küçük Derinlikli Kuantum Devreleri" anketinde , şu cümleyi okudum:

Klasik bir versiyonudur (ki buradaki bir K D ve O R kapıları çok sabit fanout var) daha kanıtlanabilir zayıf olan bir C 0 .$QAC^0$$AND$$OR$$AC^0$

Bu iddia için bir referans eksik. Bu sınıfa diyeceğim , burada b f "sınırlı fanout" anlamına geliyor. (Karmaşıklık Hayvanat Bahçesi düştü) ve böyle bir sınıfın literatürde bir adı olup olmadığını kontrol edemiyorum). Girdi bitleri için sınırlandırılmamış fanout varsayalım, bu devrenin boyutunda bir polinom artışına kadar sabit derinlik formüllerine eşdeğer göründüğü için yukarıdaki iddia mantıklı değil. Bunun yerine, giriş bitleri için sınırlı bir çıkış olduğunu varsayarsak, bu sınıfı A C 0'dan ayıran herhangi bir dili düşünemiyorum . Muhtemel bir aday X dili olabilir : = { x $AC^0_{bf}$$bf$$AC^0$ ,yani, o göstermek kolaydır tek 1. olan dizeleri dil X ∈ A C 0 , ama ispat başaramadı X ∉ A C 0 b f .$X := \{x | \mbox{weight}(x) = 1 \}$$X \in AC^{0}$$X \notin AC^{0}_{bf}$

Sorular:

Mı daha doğrusu zayıf bir C 0 ? Eğer öyleyse, nasıl kanıtlanacağı ile ilgili herhangi bir fikir veya referans? Ve bu iki sınıfı birbirinden ayıran dil nedir? Ne hakkında X ?$AC^0_{bf}$$AC^0$$X$

Giriş bitlerinin ve geçitlerin fan çıkışı üzerindeki bir sınır devrenin boyutunu doğrusal hale getirecektir. Let bir fan-out kapı ve girdi üzerine bağlanmış olması. K ile sınırlanan maksimum uzunluk ve d uzunluk uzunluğu olan bir DAG'dir . Her düzeyde mevcut olan tellerin sayısı artırabilir k kez ve en üstteki hazır tellerin sayısı k , n devrede tellerin toplam sayısı en fazla olacak şekilde, k , n Σ d i = 0 , k i ≤ k d + 1 n , O ( n ) 'dir .$k$$k$$d$$k$$kn$$kn \sum_{i=0}^d k^i \leq k^{d+1} n$$O(n)$

Süper doğrusal boyut gerektiren herhangi bir işlevi, sınırlı fan çıkışı olan işlev sınıfını (giriş bitlerine de uygulanır) A C 0'dan ayıracaktır . İşte bazı örnekler:$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}$

1. [CR96]: Bir ihtiyaç süper doğrusal boyut fonksiyonu olduğu 1$\mathsf{AC^0}$ yaklaşık seçici$\frac{1}{4}$. A yaklaşık seçim, değeri:$\frac{1}{4}$

   • sayısı her 1 en olan$0$$1$ ,$\frac{n}{4}$
   • sayısı olduğunda 0 en olan$1$$0$ ,$\frac{n}{4}$
   • Aksi takdirde veya 1 olabilir .$0$$1$

2. Bu [Ros08] Şekil -clique sahip bir Cı- 0 fonksiyonları karmaşıklığı n Θ ( k ) ( n- 2 giriş biti ile bir grafik olası kenarları n köşe). Bu, k > 2 için alt sınırda bir süper çizgi boyutu verir .$k$$\mathsf{AC^0}$$n^{\Theta(k)}$$n^2$$n$$k\gt 2$

3. Örneği 2'de genelleştirmek mümkündür, verilen sıralanmamış bir yapıda, önemsiz herhangi bir (birden fazla bit gerektiren) sabit kaynaklı bir altyapının mevcut olması mümkündür, örneğin:

   • Belirli bir grafikte 2 uzunluğunda bir yolun varlığı,
   • ,$\#_1(x)=2$

   mümkün olmayan bir bit bağlı olarak süper sabit sayıda kapıya ihtiyaçları vardır .$\mathsf{AC^0_{bf}}$

4. En kolay örnek bir kopyalayıcı kapısıdır, yani giriş bitinin kopyasını oluşturan bir kapıdır . Bu, A C 0 b f'de mümkün değildir, çünkü sadece O ( 1 ) kapı her bir giriş bitine bağlı olabilir.$\omega(1)$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$O(1)$

Ayrıca herhangi bir büyüklüğü devre S az boyutta bir formül dönüştürülebilir en k d G ve bu nedenle sahip bir Cı- 0 b f büyüklüğü formül k 2 d + 1 , n superlinear herhangi bir fonksiyonu bu yüzden bir Cı- 0 Formül karmaşıklığı A C 0 b f'de olmayacak .$\mathsf{AC^0_{bf}}$$S$$k^dS$$\mathsf{AC^0_{bf}}$$k^{2d+1}n$$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0_{bf}}$

Referanslar:

[CR96] S. Chaudhuri ve J. Radhakrishnan, " Devre Karmaşıklığında Belirleyici Kısıtlamalar ", 1996

[Ros08] Benjamin Rossman, " k- Clique'in Sabit Derinlikli Karmaşıklığı Üzerine ", 2008

[Juk] Stasys Jukna, " Boole İşlev Karmaşıklığı: İlerlemeler ve Sınırlar ", taslak