Karmaşıklık alt sınırlarının belirlenmesi için ileri teknikler

Bazılarınız, araştırma seviyesi olmadığı için kapatılmış olan bu soruyu izliyor olabilirsiniz. Dolayısıyla, sorunun araştırma düzeyinde olan kısmını çıkartacağım.

Sıralama düzenlemesinin azaltılması veya EXPTIME tamamlanmış bir sorun gibi "basit" tekniklerin ötesinde, bir sorunun zaman karmaşıklığı için düşük sınırları kanıtlamak için hangi teknikler kullanılmıştır?

Özellikle:

• Son on yılda geliştirilen "son teknoloji" teknikler nelerdir?
• Soyut Cebir, Kategori Teorisi veya tipik olarak "saf" matematiğin diğer dallarından teknikler uygulanabilir mi? (Örneğin, bunun ne anlama geldiğine dair gerçek bir açıklama olmadan, genellikle "cebirsel yapı" sınıfından bahsettiğimi duyuyorum)
• Düşük sınırlı karmaşıklık için önemli ancak daha az bilinen sonuçlar nelerdir?

Cebirsel devreler için alt sınırlar

Devre boyutunda daha düşük bir sınırın zamanla daha düşük bir sınırla aynı olduğu cebirsel devrelerin ayarında birçok sonuç bilinmektedir, ancak daha modern sonuçlarda sadece birkaç çekirdek teknik vardır. Zamanın alt sınırlarını istediğinizi biliyorum, ama bence çoğu durumda cebirsel alt sınırların bir gün Boole / Turing makinesi alt sınırlarına yol açacağı yönündedir. Bu sonuçlar, sıklıkla, "saf matematik" ten daha derin teknikleri kullandıkça.

I. Derecesi bağlı.

Strassen, bir (dizi) fonksiyon (lar) ile ilişkili belirli bir cebirsel çeşitliliğin derecesinin logunun, bu fonksiyonları hesaplamanın cebirsel devre büyüklüğüne daha düşük bir sınır olduğunu göstermiştir.

II. Bağlı bileşenler (veya daha genel olarak herhangi bir yüksek homoloji grubunun boyutu).

Ben-Or, bir (yarı-cebirsel) kümede üyeliğe karar veren gerçek bir cebirsel karar ağacının büyüklüğünün en azından olduğu ve C'nin bu setin bağlı bileşenlerinin sayısı olduğunu gösterdi. Ben-Veya bunu , gerçek cebirsel karar ağacı modelinde, sıralamada Ω ( n log n ) alt sınırlamanın (iyi, elemanların farklılığı, ama elemanların farklılığının sıralamada azaldığını ) kanıtlamak için kullandık . Yao bunu bağlı bileşenlerden Betti sayılarının toplamına genişletti ve diğer problemler için ( k- eşitleri gibi ) optimal düşük sınırları kanıtladı . Başka bir makalede Yao, tamsayılar üzerindeki cebirsel karar ağaçlarına genişletti.$\log C$$C$$\Omega(n \log n)$$k$

III. Kısmi türevler.

Bu, modern cebirsel devre alt sınırlarının çoğunun işgücü olmuştur. Kısmi türevleri ilk önce bir de tüm işlem ilk Partials göstermiştir Baur-Strassen ile bağlanmış düşük kanıtlamak için kullanılmıştır inanıyoruz boyutu yapılabilir 5 s s işlem için gerekli olan boyut f . Strassen'in derece sınırı ile birleştirildiğinde, bu, açık bir işlev için hala sınırsız aritmetik devrelerin boyutunda en güçlü alt sınırlar olan, çeşitli işlevlerde Ω ( n log n ) boyutunda daha düşük sınırlar vermiştir.$f$$5s$$s$$f$$\Omega(n \log n)$

Kısmi türevlerin daha yeni kullanımı, tüm kısmi türevlerin alanlarının boyutlarını göz önünde bulundurarak, değişmeyen devreler üzerinde daha düşük sınırlar elde ettiği Nisan'ın bir belgesinden kaynaklanıyor gibi görünmektedir. Bu, Nisan-Wigderson tarafından sınırlandırılmış derinlik-3 tür devrelerinde daha düşük sınırları kanıtlamak için kullanıldı ve benzer fikirler, Raz'ın (ve Raz ve ortak çalışanlar tarafından ilgili modelleri) çok satırlı formül büyüklüğünde daha düşük sınırları kanıtlamak için kullanıldı. Gupta, Kayal, Kamath ve Saptharishi'nin son derinlikleri 4 ve derinlik 3 alt sınırları, bu değişimin genellemesini kullanarak, “kaydırılmış kısmi türevlerin” alanının boyutunu saymak için kullanır - burada kısmi türevleri alabilir ve sonra çarpabilirsiniz. Belirli bir derecedeki herhangi bir monomial. ) “sadece”, kalıcı küçükler tarafından oluşturulan idealin daha iyi anlaşılmasıyla ilgili bir sorun olabilir (makalelerinin sonundaki varsayımlara bakınız).$\mathrm{VP} \neq \mathrm{VNP}$

IV. Çeşitlerin denklemlerini tanımlama.

Buradaki düşünce, belirli bir cebirsel çeşitliliğin "kolay işlevlerine" ilişkilendirmek, bu çeşitlilikte ortadan kaybolan denklemleri bulmak ve bu denklemlerin "zor işlevinizde" ortadan kalkmadığını göstermektir. (Bu nedenle, zor işlevinizin kolay işlevlerin çeşitliliği olmadığını, dolayısıyla zor olduğunu kanıtlarsınız.) Özellikle matris çarpımında alt sınırlarda kullanışlıdır. En son ArXiv için Landsberg - Ottaviani ve daha düşük sınırlara atıfta bulunma.

(Aslında, yukarıdaki I, II ve III'ün tümü, belirli çeşitler için denklem tanımlayan özel durumlar olarak görülebilir, ancak I, II, III'ü kullanan kanıtlar, aslında hiçbir zaman bu şekilde ifade edilmediğinden gerek.)

V. Temsil teorisi, esp. geometrik karmaşıklık teorisinde olduğu gibi.

Aslında, Landsberg - Ottaviani tarafından belirli bir çeşitlilik için bazı denklemler bulmakta da kullanılır. Ayrıca Burgisser-Ikenmeyer tarafından, matris çarpımında biraz daha düşük bir alt sınırın "tamamen" temsil-teorik kanıtını elde etmek için kullanılır. Mulmuley ve Sohoni (bakınız "Geometrik Karmaşıklık Teori I ve II") tarafından conjectured gidermek için yararlı olduğu v V , N , P ve sonuçta N P vs P / s O l y .$\mathrm{VP}$$\mathrm{VNP}$$\mathrm{NP}$$\mathrm{P/poly}$

Kaveh, cevabında nazikçe bir şey söylemem gerektiğini önerdi. Bu güzel kapsamlı cevap listesine katkıda bulunacak başka bir şeyim yok. "Yapısal karmaşıklık" alt sınırlarının son on yıl içinde nasıl geliştiği hakkında birkaç genel kelime ekleyebilirim. ("Yapısal karmaşıklık" adını yalnızca cebirsel, iletişim karmaşıklığından, vb. Ayırmak için kullanıyorum)

Mevcut yaklaşımlar hala büyük ölçüde köşegenleştirmeye ve özellikle de aşağıdaki temel paradigmaya dayanmaktadır: Alt sınırın karşıtını üstlenerek başlayın. Bu size bazı problemler için güzel bir algoritma verir. Bu algoritmayı, zaman hiyerarşisi veya uzay hiyerarşisi gibi köşegenleştirmeye dayalı bazı hiyerarşi teoremiyle çelişmek için kullanın. Köşegenleştirme argümanları yalnızca yeni alt sınırları kanıtlamak için yeterli olmadığından, çelişkili tarifi elde etmek için karışıma diğer bileşenler eklenir.

70'lerin ve 80'lerin birçok argümanının da yukarıdaki modeli takip ettiği söylenebilir; günümüzde temel fark “diğer içerikler” - aralarından seçim yapabileceğiniz birçok içerik var ve içeriklerin uygulanabileceği yöntemler sadece kendi yaratıcılığınızla sınırlı gibi görünüyor. Bazen, daha iyi bir tarif almak için belirli malzemeleri nasıl karıştırdığınızı bilmiyorsanız, ancak bunların nasıl karışabileceğini çok iyi anlıyorsanız, sizin için yeni tarifler öneren bir bilgisayar programının kodlanmasına yardımcı olur.

Kesin do son alt sınırların yeni deliller elde etmek çok ilginç olurdu değil bu paradigma izleyin. Örneğin, , köşegenleştirme argümanına herhangi bir referans olmadan kanıtlanabilir mi? Öncelikle, klasik olmayan zaman hiyerarşisi teoremini çağırmadan ispat edilebilir mi? (Örneğin, bunun yerine "devre boyutu hiyerarşisi" kullanılabilir mi?)$NEXP \not\subset ACC$

Teknikler, sınırlamak istediğimiz kaynağın modeline ve türüne bağlıdır. Bir problemin karmaşıklığı üzerinde daha düşük bir sınır olduğunu kanıtlamak için önce matematiksel bir hesaplama modelini düzeltmemiz gerektiğini unutmayın: Bir problem durumu için daha düşük bir sınır, bir miktar kaynak kullanan bir algoritmanın sorunu çözemeyeceği, yani evrensel olarak ölçtüğümüzdür. algoritmalar üzerinden. Niceleme alanının matematiksel bir tanımına sahip olmalıyız. (Bu genellikle imkansızlık sonuçları için geçerlidir.) Bu nedenle, düşük sınırlı sonuçlar yalnızca belirli bir hesaplama modeli için geçerlidir. Örneğin, $\Omega(n \log n)$sıralama için daha düşük sınırlama, yalnızca kısıtlamaya dayalı sıralama algoritmalarında işe yarar, bu kısıtlama olmadan ve daha genel hesaplama modellerinde, sıralamayı daha hızlı ve hatta doğrusal bir zamanda çözmek mümkün olabilir. (Aşağıdaki Josh'un yorumuna bakın.)

Burada daha genel hesaplama modelleri (Turing makineleri ve devreleri) için hesaplama karmaşıklığı teorisinde düşük sınırları kanıtlamak için birkaç basit doğrudan yöntem vardır.

I. Sayma:

Fikir: Algoritma yapan daha fazla fonksiyon olduğunu gösteriyoruz.

Ör: Üstel büyük devreler gerektiren fonksiyonlar var.

Bu yöntemle ilgili problem, bunun varoluşsal bir argüman olması ve zor olduğu kanıtlanmış problemin karmaşıklığı üzerinde açık bir fonksiyon veya herhangi bir üst sınır vermemesidir.

II. Kombinatoryal / Cebirsel:

Fikir: Devreleri analiz eder ve belirli bir özelliğe sahip olduklarını gösteririz; örneğin, kendileri tarafından hesaplanan fonksiyonlar, güzel bir sınıf matematiksel nesne sınıfına yaklaştırılabilirken, hedef fonksiyon bu özelliğe sahip değildir.

Örn: Håstad'ın anahtarlama leması ve çeşitleri , değerine yaklaşmak için karar ağacı kullanır , Razborov-Smolensky, A C 0 [ p ] , vb. İşlevlerini yaklaşık olarak belirlemek için alanlar üzerinde polinomlar kullanır .$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{AC^0}[p]$

Bu yöntemle ilgili mesele pratikte sadece sınıfları analiz etmek için küçük ve nispeten kolay olan yerlerde çalışmış olmasıdır. Ayrıca, Razborov-Rudich'in Doğal Provalar engeli de var; bir şekilde basit özelliklerin neden daha genel devre daha düşük sınırlar elde etmek için yeterli olma ihtimalinin düşük olduğunu belirliyor.

Razborov'un “Yaklaşım yöntemiyle ilgili ” makalesi , yaklaşım yönteminin bir anlamda alt sınırların kanıtlanması için tamamlandığını savunuyor.

III. Diyagonalleştirme:

Fikir. Küçük sınıftaki fonksiyonlara karşı köşegenleştiriyoruz. Fikir Gödel'e (ve hatta Cantor'a) geri döner.

Ör. Zaman hiyerarşisi teoremleri , Uzay hiyerarşisi teoremi vb.

Bu yöntemle ilgili ana sorun, üst sınır almak için daha küçük sınıf için evrensel bir simülatöre ihtiyacımız olması ve önemsiz olmayan simülatörleri bulmakta zorlanmamızdır. Ayrı örneğin den P G , p , bir Cı- e biz bir simülatör olması gerekir P içinde P G , p , bir Cı- e ve simülatörleri varsa bunlar hoş olmayacak olduğunu gösteren sonuçlar bulunmaktadır. Bu nedenle, genellikle biraz daha fazla kaynak kullanarak daha küçük sınıfı evrensel olarak simüle edebileceğimiz sınıfları aynı tür kaynaklarla ayırırız.$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$$\mathsf{P}$$\mathsf{PSpace}$

Ayrıca, belirli köşegenleştirme argümanlarının sonucunun yanlış olduğu diğer ortamlara aktarılacağını belirten görecelilik engeline (Baker, Gill ve Solovay'a geri dönüş) ve cebir engeline (Aaronson ve Wigderson tarafından) sahibiz.

Bu engellerin daha genel köşegenleştirme argümanları için geçerli olmadığını unutmayın. Aslında, Dexter Kozen'in " Alt-işlemsel sınıfların endekslenmesi " adlı makalesiyle , alt sınırların kanıtlanması için köşegenleştirme tamamlanmıştır.

Muhtemelen fark ettiğiniz gibi, bir karmaşıklık sınıfı için iyi evrensel simülatörler bulmak ve bu karmaşıklık sınıfını daha büyük sınıflardan ayırmak arasında güçlü bir ilişki vardır (resmi bir açıklama için Kozen'in makalesine bakınız).

Son çalışmalar

Son gelişmeler için Ryan Williams'ın son makalelerini inceleyin. Onları bu cevapta tartışmıyorum, çünkü Ryan'ın kendisi bir cevap yazacaktır.

Cebirsel karar ağaçları

Bu son zamanlarda kullanılan bir teknik değil, belirli problemler için oldukça güçlü olan bir teknik.

Cebirsel karar ağacı modeli, karşılaştırma ağaçlarının güçlü bir genellemesidir. Bu modelde, bir algoritma, her girdi boyutu için bir olan tek biçimli olmayan karar ağaçları ailesi olarak modellenmiştir . Spesifik olarak, bir d inci dereceden cebirsel karar ağacı, aşağıdaki yapıya sahip olan bir köklü üçlü ağaç:$n$$d$

• $v$$q_v(x_1, \dots, x_n)$$d$$x_i-x_j$$i$$j$

• $-1$$0$$+1$

• $\{1,2,\dots,n\}$

$\vec{x}\in\mathbb{R}^n$

$\Omega(n^d)$

$\ell$$R(\ell) \subseteq \mathbb{R}^n$$\ell$$R(\ell)$$\mathbb{R}^n$$t = \text{depth}(\ell)$$d$$d$$(dt)^{O(n)}$

$W\subseteq\mathbb{R}^n$$d$$t$$W$$3^t (dt)^{O(n)}$$t = \Omega(\log \#W - n\log d)$

$n$$W$$n!$$n$$\Omega(n\log n)$

$\Omega(n\log n)$

$R(\ell)$$(dt)^{O(n)}$

$n^{O(n)}$$n\log n$

$\Omega(n^2)$$O(n^4\log n)$$2^{O(n)}$$\mathbb{R}^n$$n^4\log n$$k$$k$$k$$k$$O(n^{k/2})$$O(n^4\log n)$sorgu polinomları; bu inşaat süresi alt sınır modelinde boş.

Çift negatif sonuçlar için yaşasın!

Manindra Agrawal, "Psuedorandom Jeneratörleri İle Düşük Sınırları Göstermek" adlı güzel bir makaleye sahiptir. Bu, daha düşük sınırları kanıtlamak için koşmada "karanlık bir at" olarak kabul edilebilir, ancak kağıt ilginçtir.

bu sadece devre alt sınır açısına odaklanan konu üzerinde ortaya çıkan 32p'lik bir ankettir (içeriğinde diğer cevaplarla birlikte güçlü örtüşme vardır).

• Oliveira ile Devre Alt Sınırlarına Karşı Algoritmalar

"Devre sınıfı C için önemsiz algoritmalar" C'ye karşı daha düşük sınır devresi verir "formunun birkaç aktarım teoremini kanıtlamak için farklı teknikler kullanılmıştır. Bu ankette, bu sonuçların çoğuna tekrar bakıyoruz. Devre alt sınırlarının derandomizasyon, sıkıştırma, öğrenme ve tatmin edilebilirlik algoritmalarından nasıl elde edilebileceğini tartışıyoruz. Ayrıca, bu aktarım teoremleri bağlamında temel olduğu ortaya çıkan bir kavram olan devre alt sınırları ve kullanışlı özellikler arasındaki bağlantıyı da ele alıyoruz. Yol boyunca, birkaç yeni sonuç elde ediyoruz, birkaç kanıtı basitleştiriyoruz ve farklı çerçeveler içeren bağlantıları gösteriyoruz. Sunumumuzun, bu alanda araştırma yapmak isteyenler için bağımsız bir tanıtım işlevi göreceğini umuyoruz.