Kolay karar problemi, zor arama problemi

Bir Nash dengesinin var olup olmadığına karar vermek kolaydır (her zaman yapar); Ancak, aslında bir tane bulmak zor olduğuna inanılıyor (bu PPAD-Tamamlandı).

Karar versiyonunun kolay olduğu fakat arama versiyonunun nispeten zor olduğu (karar versiyonuyla karşılaştırıldığında) diğer bazı sorun örnekleri nelerdir?

Karar versiyonunun rakipsiz olmadığı problemlerle özellikle ilgilenecektim (Nash dengesindeki durumdan farklı olarak).

Bir tamsayı verildiğinde önemsiz olmayan bir faktörü var mı? -> Önemsizce P cinsinden

Bir tamsayı verildiğinde, eğer bir -> FP'de olduğu bilinmiyorsa önemsiz olmayan bir faktör bulun.

İşte bir başka örnek: G şeklinde bir kübik grafik G ve bir H hamiltonian çevrimi göz önüne alındığında, G'de farklı bir hamiltonian döngüsü bulun. Polinom sürede hesaplanır.

Aşağıdakilere Nash dengesi için yaptığınız aynı "boşluğu" verirseniz, o zaman:

• Tamsayılı çarpanlara ayırma, karar probleminin "Bu tamsayının çarpanlı bir gösterimi var mı?" (önemsiz olarak, evet) ve arama sorunu, çıktısını almaktır.

Bir dizi kafes problemi, karar problemini tanımlamak için aynı cömert ödeneğe makul bir şekilde uyuyor olabilir:

• En Kısa Vektör Sorunu (SVP) - bulmaya göre en kısa bir vektör olup olmadığına karar verin
• En Yakın Vektör Sorunu (CVP) - bulmaya en yakın vektörün olup olmadığına karar verin

Tabii ki, bunların hepsi bahsettiğim karar versiyonunun çok ilginç olmadığı durumlardır (çünkü önemsiz bir durumdur). Çok önemsiz olmayan bir sorun :

• için düzlemsel grafik renklendirilebilirliği$k$$k \ge 4$

Düzlemsel grafik 4-renklendirilebilirlik karar sorunu P cinsindendir .

Gerçekten ilgilendiğiniz mülkün kendine indirgenebilirlik (ya da daha doğrusu kendi kendine indirilemezlik) olduğunu unutmayın. Düzlemsel grafik renklendirme probleminde, asıl mesele, genel renklendirilebilirlik durumunu kendi kendine azaltma yönteminin bir grafikteki düzlemselliği yok etmesidir.$k$

Let , rastgele grafik , ki burada her bir kenar olasılık ile, bağımsız bir şekilde mevcut olduğu . Seçim köşeleri üniform rastgele ve aralarında tüm kenarları ekleyin; sonuçtaki grafiği . Sonra büyüklüğünde bir klibi vardır .$G=G(n,1/2)$$1,\ldots,n$$1/2$$n^{1/3}$$G$$H$$H$$n^{1/3}$

Arama sorunu: en az büyüklüğünde bir klik bulun .$10\log n$

Bir örnek daha; Alt toplamı eşitliği: verilen olan doğal sayılar . Güvercin deliği ilkesi , deki iki alt alt grubunun varlığını garanti eder; öyle ki (beri olası toplamlardan daha altkümelerdir). Set ve bulmak için polinom zaman algoritmasının varlığı ünlü bir açık problemdir.$a_1,a_2,a_3,...,,a_n$$\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$$I, J$${1,2,..., n}$$\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$$I$$J$

Alt kümeler eşitliği (güvercin deliği versiyonu)

Yukarıdakilere benzer başka bir sayı teorisi örneği. Bu tarafından bilinen Bertrand'ın önermesiyle her pozitif tamsayı için o arasında bir asal var ve . Ancak şu anda . (İstenen algoritma pollog ( ) zamanında çalışmalıdır.) Asal sayı teoreminden dolayı kolaylıkla polinom zamanı rastgele algoritmalar ortaya çıkarılabilir ve biri bazı standart sayı teorik varsayımlarını ( Cramer'in varsayımı gibi ) varsayarak bunları derandomize edebilir. ancak koşulsuz olarak hiçbir polinom zaman deterministik algoritması bilinmemektedir. İlgili çalışma son zamanlarda yapılan$n$$n$$2n$$n$$n$Polymath4 projesi ; Tao'nun projedeki blog yazısı bunun iyi bir özeti.

Biraz konu dışı olma riski altında basit ve doğal bir teori örneği vermeme izin verin C cevabı: Eulerian çevrimler ve dağıtılmış algoritmalar.

Karar sorun değildir tamamen Eulerian olmayan Euler grafikler hem de vardır olması bakımından, önemsiz.

Bununla birlikte, karar sorununu çözen hızlı ve basit bir dağıtılmış algoritma vardır (evet, tüm durumlar için "1", tüm durumlar için "0" ve "hiç" olmayanlar için "0"): her düğüm sadece kontrol eder kendi derecesinin paritesi ve buna göre 0 veya 1 çıkışı verir.

Fakat eğer bir Euler döngüsü (her düğümün döngünün yapısını kendi mahallesinde vereceği anlamında) bulmak istiyorsanız , grafik üzerinde temel olarak küresel bilgiye ihtiyacımız var. Sorunun iletişim turu gerektirdiğini gösteren bir çift örnek bulmak zor olmamalı ; Öte yandan, tur herhangi bir sorunu çözmek için yeterlidir (benzersiz kimlikler varsayarak).$\Omega(n)$$O(n)$

Özetle: -zaman karar sorunu, -zaman arama sorunu ve bu olası en kötü boşluktur.$O(1)$$\Theta(n)$

Düzenleme: Bu örtük olarak grafiğin bağlı olduğunu varsayar (veya eşdeğerde, bağlı her bir bileşende Eulerian bir döngü bulmak istediğimizi).

Tverberg bölümlerini bulmak bilinmeyen bir karmaşıklıktır:

Teorem: , , . Daha sonra bir bölüm vardır ve bu şekilde .$x_1,x_2,\dots, x_m$$R^d$$m \ge (r-1)(d+1)+1$$S_1,S_2,\dots, S_r$${1,2,\dots,m}$$\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$

Nash dengelerinde olduğu gibi, bu bölüm teorem tarafından güvence altına alınmıştır, ancak bir çoklu zaman algoritması bulmak için var olup olmadığı bilinmiyor.

Gil Kalai bu konuyla ilgili harika bir dizi yazı yazdı: One , Two and Three .

Yukarıdaki tüm örneklerde karar problemi P'dedir ve arama probleminin P de olduğu bilinmemektedir ancak NP-zor olduğu da bilinmemektedir. Karar sürümü kolay olan NP arama probleminin mümkün olduğunu belirtmek isterim.

Verilen ilişkiler için genelleştirilmiş problemini göz önünde bulundurunuz. Boolean domain üzerinden . Bir örnek, burada 'in ya değişkenler ya da sabitler olan ve ait arities olan (bu sabitleri Schaeffer ikilik teoremi ile aynı çerçeve , ne olduğunu biliyor olmanız durumunda). Arama sorunu şudur: Böyle bir ifade verildiğinde, eğer varsa, sözlüksel olarak minimal bir çözüm bulun.$R_1,\ldots,R_k$$\{0,1\}$

Bu Reith ve Vollmer'in tarafından gösterildi burada ilişkilerin bir seçim var olduğu NP-zor (aslında OptP-tam) bu sorunu yapmak ama (aslında oldukça önemsiz) kolay Satisfiability sorunu tutun. Makalede verilen bir örnek (burada ). Memnuniyet sorunu polinom-sürede çözülebilir olduğunda, sözlüksel olarak minimal tatmin edici bir ödevin olup olmadığı sorusu önemsizdir.$R_1,\ldots,R_k$$R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$$k = 1$

Corollary 13 ve yukarıdaki kağıtta takip eden örneğe bakın (en azından bu çevrimiçi versiyonda).

• Karar sürümü (yüksek) olmayan trival olan P : -colourability ( beş noktalar ile indüklenen yolu olmayan grafikler sabit); bu kağıt yüzünden .$k$$k$
• Arama sürümü NP- hard: Beş köşeli indükte yolsuz kromatik grafik sayısının bulunması; bu kağıt yüzünden .

"Eşleştirme dostu" bir eliptik eğri alın. Bu harita, çift doğrusal bir birine sahip bir eğridir sahip - bağlantılı , öyle ki zordur ters).e ( a + b , c + d ) = E ( bir C ) e ( bir d ) , e ( b c ) , e ( b d ) $e$$e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$$e$

Bu eşleştirmeler, kriptografide yaygın olarak kullanılır, kısmen verildiğinden beri , Kararlı Diffie-Hellman (verilen , : 'nin sadece olup olmadığını doğrulayın. ). Bununla birlikte, hala arama / hesaplamalı Diffie-Hellman sorununun zor olduğu kanaatine varılmıştır.( g , h , g bir , h b ) bir = b , e ( g , h b ) = E ( s , g bir$e$$(g, h, g^a, h^b)$$a = b$$e (g, h^b) = e (h, g^a)$

Bu tür gruplar aynı zamanda "boşluk grupları" na da genellenir.

Sanırım Planar Perfect Matching bu listeden kaçırıldı.

• Karar sürümü NC'de (sayım versiyonu bile ) Kastelyn'in algoritmasının paralel versiyonuyla (bakınız Mahajan-Subramanya-Vinay ).$\mathsf{NC}$
• Arama sürümü bugüne kadar benzersiz kalır, yani bu problem için bilinen bir deterministik algoritması yoktur (buna rağmen, paralel veya deterministik kısıtlamalardan birini bırakırsak, bilinen algoritmalar vardır - Edmonds ve Mulmuley-Vazirani-Vazirani / Karp- Upfal-Wigderson , sırasıyla.$\mathsf{NC}$

Karmaşıklığı biraz artıralım.

Vektör ekleme sistemleri (VAS) ile ilgili birçok karar sorunu EXPSPACE-tamamlandı, ancak çok daha büyük tanıklar gerektirebilir. Örneğin, bir VAS dilinin normal olup olmadığına karar vermek EXPSPACE tamamlandı (örn. Blockelet & Schmitz, 2011 ), ancak en küçük eşdeğer sonlu durum otomatı Ackermannian boyutunda olabilir ( Valk ve Vidal-Naquet, 1981 ). Bu büyük boşluk arkasında açıklama çok daha küçük tanıkları varolduğudur olmayan -regularity.