Genelleştirilmiş düzlemsel grafikler ve genelleştirilmiş dış düzlemsel grafikler hakkında

Herhangi bir düzlemsel , sırasıyla, dış düzlemsel grafik karşılar | E ′ | ≤ 3 | V ′ | - 6 , sırasıyla, | E ′ | ≤ 2 | V $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$
, her alt grafiği için G ' = ( V ' , E ' ) arasında G .$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$
Ayrıca, (dış) düzlemsel grafikler polinom zamanında tanınabilir.

grafikleri hakkında bilinenler öyle ki | E ′ | ≤ 3 | V ′ | - 6 (sırasıyla. | E ' | ≤ 2 | V ' | - 3 ), her alt grafiği için G ' = ( V ' , E ' ) arasında G ? Onları polinom zamanında tanımak mümkün mü?$G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$|E'|\le 2|V'|-3$$G'=(V',E')$$G$

Edit (Eppstein'ın güzel cevabından sonra): Herhangi bir düzlemsel grafik tatmin eder | E ′ | ≤ 3 | V ′ | - 6 Her alt grafiği için G ' = ( V ' , E ' ) ve G , en az üç noktalar ile | V ′ | ≥ $G=(V,E)$$|E'|\le 3|V'|-6$$G'=(V',E')$$G$ $|V'|\ge 3$. Yani, "genelleştirilmiş düzlemsel grafikler", bu özelliği tatmin edenler olacaktır ve bunları polinom zamanında tanımak (ilginç) açık bir soru gibi görünmektedir.

Lee ve Streinu (aşağıdaki alıntı) gösterimlerinde, listelediğiniz ikinci sınıf (2,3) -sparse grafikleridir. Bir grafin polinom zamanında (k, l) -sparse olup olmadığını test etmek için bir algoritma verirler. Ancak, düzlemsel grafikler ve biraz daha karmaşıktır, çünkü bu eşitsizlik tüm köşe noktaları için doğru değildir (eğer doğruysa, bir kenarla iki köşe bağlanamaz, çünkü 3 ⋅ 2 - 6 = $|E'|\le 3|V'|-6$$3\cdot 2-6=0$). Yani (3,6) -sparse grafik sınıfı (gösterimlerinde) sadece boş grafiklerden oluşur. Muhtemelen algoritmaları, ikiden fazla köşeden oluşan tüm kümeler için eşitsizliğin sahip olduğu grafiklere genişletilebilir.

Lee, Audrey; Streinu, Ileana (2008), "Çakıl oyun algoritmaları ve seyrek grafikler", Ayrık Matematik 308 (8): 1425-1437, doi: 10.1016 / j.disc.2007.07.104 , arxiv: matematik / 0702129 .

"Genelleştirilmiş dış düzlem grafikleri" veya (2,3) -sparse grafikleri hakkında bilinenler nelerdir? DavidEppstein'ın cevabı hakkında bazı ek gerçekler:

1982'de, bu makalede (Corollaries 1 ve 2), Lovász ve Yemini genelleştirilmiş dış düzlem grafikleri (gösterimlerinde genel bağımsız grafikler ), herhangi bir kenarını iki katına çıkaran özelliğe sahip olan grafikleri olarak karakterize ettiler .$G$ kenarı bir grafikte sonuç - iki ormanın ayrık birliği.$G$

Çok daha önce, 1970, Henneberg ve Laman grafikleri yinelemeli olarak elde edilebilir outerplanar genel kanıtladı $K_2$ üç sözde ile Henneberg hareket derecesi-2 tepe noktasını ekleyerek (bir derece-1 tepe ilave edilerek ve a belli bir tür derece-3 tepe noktası).

Bu karakterizasyonlar genelleştirilmiş dış düzlemsel grafikler için ilk polinom tanımalarını vermektedir.

Genelleştirilmiş düzlemsel grafiklerle ilgili bazı açıklamalar bu makalenin son bölümünde bulunabilir . Bence, genelleştirilmiş düzlemsel grafikleri karakterize etmek ve tanımak hala çok ilginç açık sorular olmaya devam ediyor.