ACC cricuits'in Beigel-Tarui dönüşümü

Arora ve Barak'ın Hesaplama Karmaşıklığı kitabında NEXP için ACC alt sınırları hakkındaki eki okuyorum . http://www.cs.princeton.edu/theory/uploads/Compbook/accnexp.pdf önemli lemmalarõn bir bir dönüşümdür eşdeğer polylogarithmic derecesi ve quasipolynomial katsayıları veya tamsayılar üzerinde çoklu doğrusal polinomları devreler devre sınıfı S Y M + , poliasaritmik fan girişi ile alt seviyesinde çok sayıda AND geçidine ve en üst düzeyde simetrik bir kapıya sahip iki devrenin derinlik sınıfıdır.$ACC^{0}$$SYM^{+}$

Ders kitabının ekinde, bu dönüşümün geçit kümesinin OR, mod , mod 3 ve sabit 1'den oluştuğu varsayılarak üç adımı vardır . İlk adım, OR geçitlerinin fan girişini polilogaritmik düzeye indirmektir.$2$$3$$1$

Yazarlar, bu fazla bir OR kapısını verilen Valiant-Vazirani İzolasyon Lemma elde kullanarak formunun girişler O R ' ( X 1 , . . . , X 2 k ) , biz almak durumunda h bir ikili bağımsız bir hızlı arama fonksiyonu olarak , [ 2 k ] ila { 0 , 1 } arasında , ardından sıfır olmayan x ∈ { 0 , 1 } 2 k için olasılık en az 1 /$2^{k}$$OR (x_{1},...,x_{2^{k}})$$h$$[2^{k}]$$\{ 0,1 \}$$x \in \{0,1\}^{2^{k}}$Σ i : h ( i ) = 1 x i mod  2'yi tutacaktır.$1/(10k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$

Olasılığı değil , en az 1 / 2 ? O görünüyor 1 / 10 k zayıf alt sınırdır.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2$$1/2$$1/10k$

İkinci adım aritmetik kapılara hareket etmek ve çarpmaları aşağı doğru itmek. Bu adımda, belirli bir ikili giriş dizgisine sahip Boole devrelerini bir tamsayı girişine sahip aritmetik bir devreye dönüştüreceğiz.

İşte dikkat ile değiştirildiği , 1 - X 1 x 2 ⋯ x k ve M O D p ( x 1 , . . . , X k ) ile değiştirilir ( Σ i = 1 , . . . , k x i ) p $OR(x_{1},...,x_{k})$$1-x_{1}x_{2}\cdots x_{k}$$MOD_{p}(x_{1},...,x_{k})$ Fermat'ın Küçük Teoremini kullanarak.$(\Sigma_{i=1,...,k} x_{i})^{p-1}$

Bu değiştirme neden eşdeğer bir devresi veriyor ?$SYM^{+}$

olasılığı en az 1/2 değil mi? Görünüşe göre 1 / ( 10 k ) zayıf bir alt sınır.$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/(10k)$

Aslında cevap hayır. (O olacaktır olasılık en azından ile tutar 1 / 2 - ε biz çalışma olsaydı, ε kullanılarak gerçekten -biased karma etti ve ε -biased karma fonksiyonlar yapının parametrelerini iyileştirmek için bir yol sağlar, ancak ikili bağımsızlık mutlaka ε- tavsiye değildir .)$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$1/2-\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

$h : [2^k]\rightarrow\{0,1\}$$\ell \in \{2,\ldots,k+1\}$$h : [2^k]\rightarrow \{0,1\}^{\ell}$$s$$x_i=1$$\ell$$2^{\ell-2} \leq s \leq 2^{\ell-1}$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} = 1$$1/8$

$\ell$$h: [2^k]\rightarrow\{0,1\}^{\ell}$$1/(8k)$$\Sigma_{i:h (i) =1} x_{i} \mbox{mod } 2 = 1$$\ell$$OR$$\ell$$2^k$$1/8$$O(k\log s)$$\{0,1\}$$O(k)$$O(\log s)$

Bu değiştirme neden eşdeğer bir SYM + devresi veriyor?

$K$$h : \{0,1\}^n \rightarrow \{0,\ldots,K\}$$K$$g : \{0,\ldots,K\}\rightarrow \{0,1\}$$g(h(x_1,\ldots,x_n))$$f$$g$$h$