Set Kapağı alt kasasının sertliği

Eleman sayısı bazı fonksiyonlarla (örn. ) sınırlandırılırsa Set Cover probleminin ne kadar zor olduğu, burada n problem örneğinin boyutudur. Resmi olarak$\log n$$n$

Let ve F = { S 1 , ⋯ , S , n } S i ⊆ U ve m = O ( log n ) . Aşağıdaki soruna karar vermek ne kadar zor$\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}$$\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}$$S_i \subseteq \mathcal{U}$$m = O(\log n)$

Ya ?$m=O(\sqrt{n})$

İyi bilinen varsayımlara dayanan herhangi bir sonuç (örn. Unique Games, ETH) iyidir.

Düzenleme 1: Bu sorun için bir motivasyon arttıkça sorunun ne zaman zorlaştığını bulmaktır . Açıkça görülüyor ki, m = O ( 1 ) ise P , m = O ( n ) ise NP'dir . Problemin NP sertliği için eşik nedir?$m$$m=O(1)$$m=O(n)$

Düzenleme 2: zaman içinde karar vermek için önemsiz bir algoritma duyulmaktadır (boyut tüm alt kümelerini sıralar m arasında F ). Bu nedenle, m = O ( log n ) ise sorun NP-zor değildir, çünkü ETH herhangi bir NP-zor problemi için O ( 2 n o ( 1 ) ) zamanında algoritma olmadığını ima eder (burada n , NP-zor problem).$O(n^{m})$$m$$\mathcal{F}$$m=O(\log{n})$$O(2^{n^{o(1)}})$$n$

Ne zaman , polinom zamanda optimum bulmak için dinamik programlama kullanabilirsiniz. Tablo Boole değerli hücre içeren T ℓ , X her biri için ℓ ∈ { 0 , ... , k } ve X ⊆ U olup olmadığını belirten, ℓ elemanları kapsamaktadır setleri X .$m = O(\log n)$$T_{\ell,X}$$\ell \in \{0,\ldots,k\}$$X \subseteq \mathcal{U}$$\ell$$X$

Tüm ,m≤C √ deyin$m = O(\sqrt{n})$ , sorun NP-zor kalır. SET-COVER örneğinde,{x1,…,xdahil olmak üzere yeni öğelerin boş olmayan alt kümelerinden oluşanmyeni öğelerx1,…,xmve(2C - 1 m)2yeni kümeekleyinm}(myeterince büyük olduğunda,(2C - 1 m)2<2m). Ayrıcak'yiartırın$m \leq C\sqrt{n}$$m$$x_1,\ldots,x_m$$(2C^{-1}m)^2$$\{x_1,\ldots,x_m\}$$m$$(2C^{-1}m)^2 < 2^m$$k$bir tarafından. Yeni olan m ' = 2 m ve n ' = N + ( 2 ° C - 1 m ) 2 ≥ ( Cı - 1 m ' ) 2 .$m,n$$m' = 2m$$n' = n + (2C^{-1}m)^2 \geq (C^{-1}m')^2$

Örneği içinde n O ( c ) Yuval tarafından belirtildiği gibi zaman, ancak aynı zamanda not k = O ( 1 ) Eğer sorunu çözebilir O ( n, k ⋅ m ) süresi (polinom saat) kadar Ayrıntılı arama. Güçlü Üstel Zaman Hipotezi ( N değişkenleri ve O ( N ) cümleleri olan formüllerde CNF-SAT en az 2 N - o ( N ) gerektirir $m = c \log n$$n^{O(c)}$$k = O(1)$$O(n^k \cdot m)$$N$$O(N)$$2^{N-o(N)}$zaman), bu iki zaman sınırı, aşağıdaki anlamda polinom zamanında bekleyebileceğimiz şeyin "sınırı" dır.

Benim içinde Mihai Patrascu ile SODA'10 kağıdı biz boyutu bir hakim setini bulma esasen izomorfik sorunu incelemek keyfi içinde n ise olduğunu gösteren, -node grafiğinin k seti -dominating içinde çözülebilir n k - ε zaman bazıları için k ≥ 2 ve ε > 0 ise , N değişkenlerinde CNF-SAT ve M için 2 N ( 1 - ε / 2 ) p o l y ( M ) zaman algoritması vardır$k$$n$$k$$n^{k-\varepsilon}$$k \geq 2$$\varepsilon > 0$$2^{N(1-\varepsilon/2)}poly(M)$$N$$M$ maddeleri.

Bir dizi kapak örneği hakim bir dizi örneğinde köşe mahalleleri ve setler arasındaki ilişkiyi kaydeden ve azalma araştırırken, aşağıdaki bulacaksınız de bu azalma gösterir çözme o ile -Set Kapak n boyutu bir evreni ele setleri m içinde n k - ε ⋅ f ( m ) süresi, M yan tümceleri ve N değişkenleri 2 N ( 1 - ε / 2 ) ⋅ f ( M ) ile çalışan CNF formülleri için bir CNF-SAT algoritması anlamına gelir$k$$n$$m$$n^{k-\varepsilon}\cdot f(m)$$M$$N$$2^{N(1-\varepsilon/2)}\cdot f(M)$saati. Güçlü ETH'yi reddetmek amacıyla, durumunda CNF-SAT'ı çözmek yeterlidir . Bu nedenle , bazı sınırsız fonksiyon α ( m ) için n k - ε ⋅ 2 m / α ( m ) sürede çalışan probleminiz için bir algoritma şaşırtıcı bir yeni SAT algoritması sağlar.$M = O(N)$$n^{k-\varepsilon}\cdot 2^{m/\alpha(m)}$$\alpha(m)$