Gürültülü Boole fonksiyonlarının sertliği

Boolean değişkeninin bir Boolean fonksiyonu olsun . Let olması beklenen değeri elde edilen her olasılığı ile koordine çevirerek .$f$$n$$g(x)=T_\epsilon (f) (x)$$f(y)$$y$$x$$\epsilon/2$

Hesaplamanın yaklaşmasının zor olduğu durumlarla ilgileniyorum . Me "yaklaşımı" kavramını sabit olsun (ama diğerleri olabilir): bir Boolean fonksiyonu yaklaşır Eğer olduğunda ve olduğunda .Bir sayım argümanı (pozitif oran hatası düzeltme kodlarının varlığına bağlı olarak), bu tür bir yaklaşımın üstel bir boyut devresi gerektirdiği Boole fonksiyonları olduğunu göstermektedir. Ancak asıl soru, ile başlamak NP'de ya da onun çevresinde olduğunda ne olacağıdır .$g$$h$$g$$h(x)=1$$g(x)\ge 0.9$$h(x)=0$$g(x)\le 0.1$$f$

S1: bir örneği var NP devresi (ya da P-uzay) tarafından tarif edilen, her şekilde , NP zor ya da sabit bir zayıf anlamında değildir.$f$$h$

Görmek için biz boyutta bir klik sahip grafikler özelliği düşünebiliriz (Ben bu konuda yararlı tartışmalar için Johan Hastad teşekkür) her zaman kolay olmayabilir , rasgele giriş için, bu düşünülebilir öyle büyük bir klik olup olmadığını tespit etmek zordur, ancak bu, gürültülü grafikte beklenenden daha fazla boyut günlüğü klemesine sahip olarak ortaya çıkar. Bu durumda, herhangi bir muhtemelen zor olacaktır (ancak kanıtlanmayacak ve yarı polinom devrelerin anlatacağı kadar korkunç olmayacaktır).$h$$n^{1/4}$$h$

S2: ile başlamak karmaşıklığın düşük olması durumudur . ( , monoton , vb.)$f$$AC^0$$TC^0$$ACC$

S3: Boole işlevlerinin bazı temel örnekleri için durum nedir. (Soru aynı zamanda gerçek değerli işleve de genişletilebilir.)

S4: Yukarıdaki soru tek tip (Turing-machine) hesaplama modeli için resmi olarak sorulabilir mi?

Güncelleme: Andy'nin cevabına göre (Merhaba, Andy) En ilginç sorunun çeşitli özel işlevlerin durumunu anlamak olduğunu düşünüyorum.

Güncelleme Başka bir soru Q5 [monoton fonksiyonlar için Q1] (ayrıca Andy'nin cevabına göre). monoton ise durum nedir ? Hala NP ile ilgili eksiksiz soruları sağlam bir şekilde kodlayabilir miyiz>$f$

Soru 1 için cevap Evet'tir ve aşağıdaki gibi gösterilebilir. (Ayrıca argüman tekdüze olduğu ve tüm giriş uzunluklarını bir kerede ele alacağı için, Q4'e dolaylı olarak olumlu bir cevap çizeceğim.)

Herhangi bir NP-tam dil ve iyi ikili hata düzeltme kodları ailesini (1/4 oranı ve hataların bir .1 oranında düzeltilmesi ile) düzeltin. Let uzunluğu için kodlama fonksiyonu ; in tekdüze bir polinom-zaman algoritması ile hesaplanabildiği böyle bir kod kullanıyoruz .$L$$Enc_n: \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}^{4n}$$n$$Enc = \{Enc_n\}$

, en fazla uzaklıktaki dizeleri kümesi olarak tanımlayınBir kod sözcüğü gelen bazı unsuru kodlayan . Yakındaki kod sözcüğünü, kodu çözülmüş kelimeyi ve kod çözülmüş sözcüğün üyeliği için NP sertifikasını tahmin edip kontrol edebileceğiniz için nin NP'de olduğunu unutmayın . $L'$$z$$.05 |z|$$y \in Enc(L)$$L$$L'$$L$

O zaman iddia, herhangi bir "yaklaşımı" nın için NP-sert olmasıdır . Geçerli bir kod sözcüğü düşünülürse için bazı uzunluğunun sonra olasılık ile, rastgele üzerinde -perturbed versiyonu ve , bu katılmıyorum olacaktır en fazla içinde. 05 koordinat fraksiyonu, ve bu nedenle, herhangi bir başka kod sözcüğü ile hemfikir daha fazla olarak coords fraksiyonu. Böyle de var iff . Yani eğer$L'$$\varepsilon = .01$$y = Enc(x)$1 - o ( 1 ) ε y ′ y y E n c n .05 y ′ y ′ ∈ L ′ x ∈ L h ε L ′ h ( y ) = L ( x ) E n c L h $4n$$1 - o(1)$$\varepsilon$$y'$$y$$y$$Enc_n$$.05$$y'$$y' \in L'$$x \in L$$h$sizin için -sorlanmış versiyonuna herhangi bir yaklaşım , o zaman . As verimli hesaplanabilir olduğunu, bu bize verimli üyelik soruları azaltmak için bir yol sağlar için olanlara . Yani NP-zordur.$\varepsilon$$L'$$h(y) = L(x)$$Enc$$L$$h$$h$

İki not:

(1) NP örneklerinin hata düzeltme kodlamaları, daha önce, özellikle
D. Sivakumar: Üyelikte Karşılaştırılabilir Kümeler olmak üzere, birkaç makalede kullanılmıştır . J. Comput. Sist. Sci. 59 (2): 270-280 (1999).

(2) yukarıdaki argüman elbette, herhangi bir NP sorununun ortalama-durum karmaşıklığı hakkında hiçbir şey söylememektedir, çünkü hata düzeltme örnek bazda uygulanmaktadır.