Karar verilebilirliği bilinmeyen basit bir problem

Lisans matematik dallarına yönelik bir konuşma için hazırlanıyorum ve bunun bir parçası olarak karar verilebilirlik kavramını tartışmayı düşünüyorum. Şu anda karar verilebilir veya kararsız olduğunu bilmediğimiz bir sorun örneğini vermek istiyorum. Bu tür birçok sorun var, ancak hiçbiri şu ana kadar iyi örnekler olarak öne çıkmıyor.

Karar verilebilirliği açık olan açıklanması basit bir sorun nedir?

Matris Ölüm Problemi 2x2 matrisleri için. 2x2 tamsayı sınırlı bir listesi verilmiştir Yani, M matrisler ₁ , ..., M _k , E olabilir _ı (keyfi olarak birçok kez tekrarlanarak) 'in herhangi bir sırayla çarpılır tüm 0 matrisi üretmek üzere?

(3x3 vakasının kararsız olduğu bilinmektedir. 1x1 vakası elbette kararsızdır.)

GÜNCELLEME: Burada bahsettiğim sorunun artık çözülemez olduğu bilinmektedir! http://arxiv.org/abs/1605.05274 Ayrıca, makale bu cevabı okuyarak ilham almıştır. :)

Matematik ana hedef kitlenizdeki programcılar, "bu tür dolaylı olarak o türden dönüştürülebilir mi?" Sorusunu öğrendiklerinde şaşırabilirler. Java 5, C # 4 ve Scala 2’lerin hiçbirinde karar verilemez olarak bilinmemektedir.

Daha fazla ayrıntı için Andrew Kennedy ve Benjamin Pierce'in “Varyansla Nominal Alt Tiplerin Karar Verilebilmesi Üzerine” adlı makalesine bakınız . Belge, bu dillerin tip sistemlerine bazı alt sınırlama örnekleri verir; bunun altında, nominal alt tipin karar verilebileceği veya kararsız olduğu bilinmektedir.

İlginç bir şekilde, makale genel kovaryans ve çelişki C # 'ya eklenmeden önce iyi yazılmış ancak yazarlar dilin yönünü doğru bir şekilde öngörmüştür. (Bu şaşırtıcı değildir; yazarlar, C # 'ya varyans eklerken avantaj sağladığım CLR'deki varyans için temel desteği tasarladılar! Ağır kaldırma yaptılar.)

Hilbert'in rasyonlar üzerindeki onuncu sorunu: "Bu polinom denkleminin rasyonel bir çözümü var mı?"

İlk değerleriyle birlikte doğrusal bir yinelenme verme sorunu 0 değerini alıyor mu?

İki referans:

http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/positivity12.pdf

Karar verilebilirliği bilinmeyen basit bir sorun şudur (hala açık olduğunu düşünüyorum):

Sonsuz satranç :

Giriş : satranç tahtasında sonlu satranç taşları ve başlangıç ​​pozisyonları listesi ; Soru : Beyaz zorla çiftleşebilir mi?$Z \times Z$

White'ın hamlede eşleşmesi gereken kısıtlamayı eklersek ( , girdinin bir parçasıdır), o zaman karar verilebilir hale gelir: bkz. Dan Brumleve, Joel David Hamkins ve Philipp Schlicht, sonsuz satrancının sorunu .$n$$n$

Bir diğer basit problem, Langton'un karıncalarının sonlu başlangıç ​​konfigürasyonundaki davranışıdır .

Sonlu destekli Langton'un karınca davranışı :

Düzlemdeki kareler siyah veya beyaz olarak çeşitli renklerle renklendirilir. Bir kareyi keyfi olarak "karınca" olarak tanımlarız. Karınca, attığı her adımda dört ana yönden herhangi birinde hareket edebilir. Karınca aşağıdaki kurallara göre hareket eder:

• Beyaz bir karede, 90 ° sağa döndürün, karenin rengini çevirin, bir birim ileri doğru ilerleyin
• Siyah bir karede, 90 ° sola döndürün, karenin rengini çevirin, bir birim ileri doğru ilerleyin

Giriş : uçağın sonlu bir konfigürasyonu (siyah / beyaz) ve karınca pozisyonu;
Soru : Karınca her zaman tekrarlayan sonsuz bir “otoyol” inşa etmeye son verir mi?

Sonsuz destek için sorun kararsızdır, bakınız: A. Gajardo, A. Moreira ve E. Goles, Langton'un karıncalarının karmaşıklığı

Collatz Problemi, karar verilebilirliği açık olan basit bir problemdir. Basit aritmetik işlemlerin basit bir şekilde tekrarlanmasını içerir.

$f(n)=\mathsf{\{}$ $n/2$ tam sayı için , tek tam sayı için$3n+1$

Sorun, bu işlevi yinelemenin belirli bir tamsayısı için her zaman 1'e dönüp dönmeyeceğine karar .$n_0$

İlginç bir şekilde, Collatz probleminin genelleşmesinin kararsız olduğu gösterilmiştir.

Referanslar:

1- verilemeyen problemler: bir örnekleyici , BJORN POONEN

2- Weisstein, Eric W. "Collatz Problemi." MathWorld'den - Bir Wolfram Web Kaynağı.

3- 3X + 1 Sorunu: Genel Bir Bakış , Jeffrey C. Lagarias

Belirli bir şeklin düzlemi döşeyip kirleyemeyeceğine karar vermenin kesin olup olmadığı bilinmemektedir .

Konjonktif sorgu tutma kararının geçerliliği yirmi yıldan beri açıktır. Bunun çözülmesi veritabanı teorisinde bir atılım olacaktır.

Sorgu ihtiva giriş iki sorgular alır ve olup olmadığını sorar uygulanan bir veritabanı gibi en az bir o kadar cevap verir aynı veritabanına uygulandığında .$Q_1$$Q_2$$Q_1$$I$$Q_2$$I$

Gelen birleşik sorgular birini kullanır VE varoluşsal niceliksel yüklemler birlikte link. SQL terimlerinde, bağlayıcı sorgular, "=" ve "AND" kullanarak SELECT-FROM-WHERE sorgularıdır ancak alt sorgu veya toplama yoktur. Bu belki de en yaygın veritabanı sorgusu türüdür ve çoğu arama motoru sorgusunu içerir.

Ne sorgu kapsama potansiyel undecidable yapar sonsuz birçok olası veritabanları üzerinde nicelenmesidir . Mevcut olan algoritmalar, bu sonsuz nicelleştirmeyi ve arasında bir tür homomorfizm olup olmadığına dair sözdizimsel bir soruya dönüştürmeye .$I$$Q_1$$Q_2$

VEYA veya izin veren biraz daha güçlü (yani "gelişmiş") sorgular için sorgu içeriğinin kararsız olduğu bilinmektedir.$\ne$

Ne kadar cevap ürettiklerini sayarak sorguları karşılaştırmak için, bir toplama ve çarpma işlemiyle doğal sayıların semiringini kullanır . Sorgu çevreleme, diğer emir verilen semirlere de genellenebilir. Tüm olumlu semirlerde, konjonktif sorgu tutma, NP zordur. Bununla birlikte, insanların umursadığı dışındaki çoğu semirlerde , konjonktif sorgu içerme miktarı belirlenebilir. Ne yazık ki, sayma durumu konjonktürel sorgu içerme kararının açıklığının hala açık olduğu semir bölgelerine düşmektedir.$(N,+,\times)$$(N,+,\times)$

Kapsamlı literatür ve titiz bir tedavi için işaretçiler için, bazı insanlar tarafından yapılan bir TODS belgesine (basında) bakınız.

Birisi, Googlefight’ı göstererek teknik olmayan bir izleyici kitlesi için zorlayıcı bir soruya dönüştürebilir , daha sonra birisinin verilere bakmaksızın hangi sorgunun diğerinden daha fazla cevap verdiğini nasıl söyleyebileceğini sorabilir. Eğer ve konjonktürel sorgularsa, o zaman her zaman en azından kadar cevap verir , çünkü ikincisi bir şekilde sözdizimsel olarak "daha büyük" ( buna benzer bir homomorfizm var) oradan zor.R Q Q  VE  R $Q$$R$$Q$$Q \text{ AND } R$$Q$

Post'un 3 ile 6 arasında değişen sayıda karo ile yazışma sorunu .

Tarif etmesi gerçekten kolay olmasa da, çok eğlenceli bir tanımı var ve ben bunu sezgisel görüşmeler için uygun buluyorum.

Genelleştirilmiş yıldız-yükseklik problemi: "Tamamen izin verilen düzenli bir ifadeyle, bu normal dili temsil etmek için kaç tane Kleene yıldızının iç içe geçmesi gerekir?"

Daima 1 döndüren algoritmanın (yıldızsız diller için 0 hariç, ki bu karar verilebilir bir durumdur) doğru olup olmadığını bile bilmiyoruz.

Otomat Teorisinden bir problem.

$D$

$x$$D$$x$$x$$L(D) \cap Primes$

Yorumlar: Bu sorunu başlangıçta Jeffrey Shallit'in yığın değişim yanıtından duydum. Herhangi bir referansı biliyorsanız, lütfen bana bildirin. Teşekkür ederim!

İlgili Mesajlar:

(1) DFA'larla ilgili açık problemler var mı?

(2) https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-language-dfas-contain-at-least-1-prime

İlgili İş: https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/br10.pdf

"Asal Sayılar için Minimal Elemanlar" C. Bright, R. Devillers ve J. Shallit

Aralıktaki yinelenen haritalar ( buradan açıklama ):

(Magnus Find tarafından önerilen sorunla ilgili)

$F$$x$$x$$x$$F(x)$$F(F(x))$$F$$x$$F$

$F$$x$$y$$x$$y$

$F$

$F$$x$$y$$x$$F$

Bir referans: Asarin 2011 .

En az 3 makalede kullanılan bu soruyu incelemek için oldukça doğal bir yol / açı gibi görünüyor.

let ile Turing makinesi seti olmak devletleri ve sembolleri. düşük / küçük için makineler kanıtlanabilir şekilde ölçülebilir, daha büyük için bazı eşik değerlerini geçtikten sonra kesin olarak kararsızdırlar. bununla birlikte, ara bölgede, kesin olarak ya karar verilebilir ya da karar verilemez olduğu bilinmemektedir (ve tüm tablonun durdurma sorununun aynı kararsızlık fenomenine dayanarak tahmin edilemez olduğu bilinir).k l k , l k , $TM(k,l)$$k$$l$$k,l$$k,l$

Sonuçlar, aşağıdaki referansların bazılarında olduğu gibi bir ızgara üzerinde görüntülenebilir. ayrıca orta bölgede, bazı (çözülmemiş) makinelerin, bazı girdiler için Collatz varsayımını simüle edebildiği aslında bilinmektedir.

Bu nedenle, burada çalışan ancak hesaplanabilir bir bölgede değil, hesaplanabilir ve hesaplanamaz arasında olağandışı bir anlamda çalışan bir fenomen gibi açıkça bir “geçiş noktası” var.

• Küçük Turing makineleri ve genelleştirilmiş yoğun kunduz yarışması Michel

• Küçük üniversal Turing makinelerinin karmaşıklığı: bir anket Woods, Neary

• Etiket sistemlerinde çözülebilirlik ve çözülemezlik sınırları. Teorik ve Deneysel Sonuçlar De Mol

$2^8$

Ayrıca "yakın özledim" veya "nispeten yakın zamanda TM tamamlanmış olarak çözülen açık soru" nun bir örneği olarak, Wolfram 2,3 makinesinin 2007 yılında 25 bin dolarlık bir ödül için evrensel olduğu kanıtlandı . Yarışma Mayıs 2007'de ve yarışma Ekim 2007'de kazanan Smith'i ilan etti .

Açık sorunların çoğunu kararsızlıkla ilgili sorularla eşleştirmenin oldukça doğal bir yolu var. Çoğu açık sorunun genellikle kanıtlanabilir ya da kanıtlanamaz olduğu bilinmemektedir.

İnternette, P ile NP sorununun kararsızlığı konusunda kesin bir karar sorunu olmadığı için gayrı resmi bir karışıklık var , bu yüzden kararsızlığı hakkında konuşmak teknik olarak doğru değil. fakat diğer yandan kararsızlık ile provability arasında yakın / doğal bir bağlantı olduğu görülüyor.

örneğin düşünün

$L$$x$$O(n^x)$

bu dil karar verilebilir mi? Bu, dilbilgisi açık olan bir dille ilgili bir sorudur; temel olarak P-NP problemine (hatta? neredeyse) özdeşleşmesine yakındır.

"açıklamak için basit" olarak NP vs P gelince, sadece kavramlarını gerektirir TM'lerin , Büyük O çalışma zamanı gösterimi , gerekirci olmayan makinalar oldukça basit (TCS en temel kavramlardan bazıları) ve lisans düzeyinde öğretilen ya hangi bir yetenekli Lise öğrencisi anlayabilirdi.

Aslında NP vs P / Poly aynı zamanda açıktır ve aynı şekilde karar verilebilirlik hakkında açık bir soru üzerine haritalanabilir ve bu, NP'nin tamamlandığını tanımlamak için minimal (monoton?) devrelerin büyümesi hakkında oldukça basit bir sorun olarak ifade edilebilir. problemler (örneğin; klikler).