TCS'deki en eski açık sorun nedir?

Bu problem, çok ilginç olduğunu düşündüğüm MO sorusundan ilham alıyor .

TCS'deki en eski açık sorun nedir?

Açıkçası bu sorunun bazı açıklamalara ihtiyacı var.

İlk olarak, TCS nedir? Garip mükemmel sayıların varlığının TCS olmadığını düşünüyorum. Hilbert'in onuncu probleminin TCS olduğunu söyleyebilirim . "X'i bir cetvel ve pusula ile kurabilir miyiz" gibi sorunların TCS olduğunu düşünüyorum, çünkü sınırlı bir hesaplama modelinde bir algoritma talep ediyorlar. Bir TCS probleminin ne olduğunu tanımlamanın kesin bir yolu olmayabilir, ancak kararınızı kullanın. Belki bir test "Bu çözülürse, büyük olasılıkla STOC / FOCS'da görünecek mi? Bunu çözen araştırmacı, muhtemelen teorik bir bilgisayar bilimcisi olur mu?"

İkincisi, "en eski" nedir? Tarihe göre en büyüğünü kastediyorum. Belirtilen tarih de doğrulanabilir olmalı, ancak bunun çok zor olması gerektiğini sanmıyorum.

Üçüncüsü, “açık bir sorun” nedir? "Açık sorun" derken, belirli bir zamanda açık olarak görülen bir problemi kastediyorum. Belki de açık problemler bölümünde bir makalenin sonunda ortaya çıktı, veya belki de bazı insanların üzerinde çalıştığı ve başarısız olduğu konusunda kanıtlar var veya belki de literatürde çalışıldığını gösteren yanlış ispatlar var. Bu kriterlere uymayan bir şeye bir örnek: "Yunanlılar X ve Y nesnelerini incelediler. Z açıkça bir ara nesnedir, kesinlikle yapılıp yapılamayacağını merak ettiler." Eğer Z ile ilgili o zamana ait bir literatür yoksa, o zaman bu açık bir problem değildir.

Dördüncü olarak, "sorun" derken ne demek istiyorum? Belirli bir "evet / hayır" sorusu kastediyorum ve "X ile Y nesnelerini tanımla" gibi bir şey değil, çünkü bu tür sorular genellikle tatmin edici bir cevaba sahip değil. Çoğu zaman sorunun çözülüp çözülmediği konusunda bir anlaşmazlık olacaktır. Burada böyle sorulara girmeyelim. Eğer bir evet / hayır sorusu değilse, ancak gerçekten açık olduğu açıktır, bu da iyi. (Bunun net olmaması durumunda, "sorun" derken, resmi olarak belirtilen bir sorunu kastediyorum. Lütfen 16. yüzyılda kumarla ilgili bazı halk efsanelerini BPP ve PSPACE ile ilgili bir soruya dönüştürmeyin.)

Son olarak, bu büyük bir liste sorusu olmadığı için, sadece daha önce gönderilen cevaplardan daha eski olduğunu düşünüyorsanız (veya gönderilen cevapların TCS olmadığı gibi, başka bir koşulu yerine getirmediğini düşünüyorsanız), bir cevap gönderin. veya açık değiller). Bu, eski açık sorunlardan ayırt edici bir koleksiyon değildir.

Tamsayılı çarpma işleminin karmaşıklığı nedir? Muhtemelen, bu soru, en azından M.Ö. 1650’de yazılmış , ancak önemli ölçüde daha eski bir belgenin kopyası olduğunu iddia eden Rhind Mathematical Papyrus’ta açıklanan tam sayı çarpımı için “ikileme ve arabuluculuk” algoritmasına dayanıyor .

Kuşkusuz, Rhind papirüs açıkça algoritmanın karmaşıklığı olduğunu düşünmedi. Öyleyse belki daha iyi bir cevaptır : Lineer denklem sistemlerinin çözülmesinin karmaşıklığı nedir? Tarih yayınlanan Liu Hui yorum, en azından geri doğrusal sistemleri çözmek için verimli algoritmalar araştırmalar 263 AD üzerinde, Matematik Sanatı Dokuz Bölümler . Spesifik olarak, Liu Hui, şu anda Gauss eleme işlemi olarak bilinen şeyin iki varyantını karşılaştırır ve her biri tarafından kullanılan aritmetik işlemlerin sayısını, daha etkin bir yöntem bulma hedefiyle sayar.

Bu soruların her ikisi de hala aktif araştırmanın hedefidir.

Faktoring için etkili bir algoritma arayışı, en azından Gauss'a kadar uzanıyor gibi görünüyor. Gauss'un Disketleri Arithmeticae'nin (1801) 329. maddesi şu alıntıyı yapmıştır ( kaynak ):

The problem of distinguishing prime numbers from composite numbers and of resolving the latter into their prime factors is known to be one of the most important and useful in arithmetic. It has engaged the industry and wisdom of ancient and modern geometers to such an extent that it would be superfluous to discuss the problem at length. ... Further, the dignity of the science itself seems to require that every possible means be explored for the solution of a problem so elegant and so celebrated.

Tabii ki, Gauss'un faktoring algoritmasından istediğini tam olarak tanımlayamadığı doğru. Aynı makalede, o sırada bilinen tüm primallik test algoritmalarının çok "zahmetli ve prolix" olduğu gerçeğinden bahsetti.

Aşağıdaki, alıntı

• Goldwasser, S. ve Micali, S. 1982. Olasılıklı şifreleme ve tüm kısmi bilgileri gizli tutan zihinsel poker oynamayı. In Computing Teorisi Ondördüncü Yıllık ACM Sempozyumu (- 07, 1982 San Francisco, Kaliforniya, ABD'de Mayıs 05). STOC '82. ACM, New York, NY, 365-377. DOI = http://doi.acm.org/10.1145/800070.802212

Gauss'un Disquitiones Arithmeticae (1801) adlı tarihi ile ilgili başka bir sorunu ifade eder:

$(\frac{q}{N})=1$$(\frac{q}{N})$

Not: Şimdiye kadar, dört algoritmik problemden ikisini biliyoruz :

1. Faktoring (arnab tarafından belirtildiği gibi);
2. Ikinci dereceden ikamet kararı.

Gauss tarafından açıklanan diğer iki problem nedir?

Ülkemizin literatüründe, kelimenin tam anlamıyla "Çözüldüğünde bilmece kolaylaşıyor" olarak çevirdiğim bir söz vardır. İyi bir çeviri olmasa da, çözüme sahip olduğunuzda kolayca doğrulayabileceğiniz anlamına gelir; Ancak bundan önce, bilmece çok zor görünüyor.

Bu, şimdiki ünlü "FP vs. FNP" sorununa atıfta bulunur: FNP = FP ise, bilmeceye verilen cevabın doğrulanması onu bulmak kadar kolaydır. Ancak eğer FNP ≠ FP ise, bir çözümü bulmanın çözümü doğrulamaktan daha zor olduğu "bilmeceler" vardır.

Bu sorunun en eski TCS açık problemi olduğuna inanıyorum, ancak kesin formülasyon yaklaşık 30 yıl öncesine dayanıyor!

There seems to be a similar (yet somehow different!) proverb in the English language: "It's easy to be wise after the event" or "It's easy to be smart after the fact."

DÜZENLEME: "Çoklu zamanları hesaba katabilir miyiz", bir başka TCS açık sorunudur, ancak yukarıda belirtilen sorundan daha genç olduğunu düşünüyorum.

İşte internetteki TCS açık sorunlarının iki listesi:

• http://www.c2.com/cgi/wiki?OpenProblemsInComputerScience
• http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=category/theoretical_computer_science

Ayrıca burada CSTheory'de böyle bir liste var.

Bazı sayı teorik kümelerinin TCS'nin bir parçası olarak sonlu mu yoksa sonsuz mu olduğu ve kesinlikle başka türlü tartışıp tartışmayacağı hakkındaki soruları içeren dışlama kuramınızı sorguluyorum. Yunanlılar olup olmadığını sorguladı:

• garip mükemmel sayılar var mı? [muhtemelen öklid tarafından düşünülebilir]

• sonsuz sayıda ikiz astar var mı?

$TM_x$$TM_y$

tartışmasız bunlar iki eski algoritmik problemdir ve Yunanlılar en eski TCS'yi temel olarak sayı teorisi biçiminde öncülük etmişlerdir ve erken sayı teorisi problemleri sadece Turings'in durma sürecinin özel durumları ve zorluğunun erken koşullarına ilişkin kanıtlardır. ve deliller hakkında soru sorma / bulma / arama ile kararsızlık teorisi arasında yakın bir ilişki vardır.

Tartışmalı olarak, yeni araştırmalar, bir zamanlar bir dizi teori merakı olarak kabul edilen collatz varsayımının hesaplanabilirlik teorisine derin bağları olduğunu ve kesinlikle kararsız ve kararsız problemler arasındaki sınırda uzanabileceğini gösteriyor . Ayrıca hilberts'ten bahsettiğiniz örnek 10. problem, sayı teorisi ve TCS arasında çok temel bir bağlantı olduğunu göstermektedir.

diğer iki eski algoritmik soru:

• gcd, en büyük ortak bölenin hesaplanması için verimli ya da en verimli algoritma nedir?

• hesaplama primerleri için verimli veya en verimli algoritma nedir?

2. sorunun faktoring ile yakından ilgili olduğu konusunda hemfikir, ancak bunun elbette aynı olmadığı. etotosten elek ve öklid tarafından düşünüldü. Elbette son zamanlarda AKS tarafından P'de olduğu gösterildi, ancak o zaman bile algoritmanın tamamen optimal olduğu kanıtlanmadı.

fibonacci sayılarının en kötü durum performansını verdiğini gösteren öklid gcd algoritması üzerine çok modern bir TCS araştırması var (yani 20. yüzyıl). [Bunu kimin gösterdiğine emin değilim]

Euclid algoritmasının optimal olduğu kanıtlanıncaya kadar, gcd'nin tartışmasız olarak etkin bir şekilde hesaplanması hala açıktır.

Bu sorunun ne kadar ciddi olduğundan emin değilim ama ...

Bu gerçekten sorunuzu ne kadar tanımlamak istediğinize bağlıdır.

Elbette "Akıllı bir makine yapılabilir mi?" CS’de bilgisayar bilimini başlatan en eski açık sorudur, ancak muhtemelen CS’den iki ya da iki kez eskidir. Yok hayır? (Bir teori sorusudur, çünkü bir cevap ister - makinenin kendisi için değil ...)

Akıllı bir makine aramaya doğal bir referans Golem olacaktır ... http://en.wikipedia.org/wiki/Golem#History

Sorunuza bir süre için% 100 kesinlikte cevap verebilirim. Hartmanis ve Stearns'ın seminal gazetesinden geleceğin herhangi bir noktasına kadar olan süreyi düşünürsek , halen açık olan TCS'deki en eski sorun şudur:

Deterministik TM simülasyonu için gereken asgari ek yük nedir?

$T^{2}(n)$$T(n)$$\log T(n)$

$\log T(n)$