Kitaptan Algoritmalar.

Paul Erdos, Tanrı'nın her matematik teoreminin en zarif kanıtını tuttuğu “Kitap” hakkında konuştu. Bu bile bir kitaptan esinlendi (şu anda 4. baskısında olduğuna inanıyorum): Kitaptaki Kanıtlar .

Tanrı'nın algoritmalar için benzer bir kitabı olsaydı, hangi algoritmanın aday olacağını düşünüyorsunuz?

Mümkünse, lütfen tıklanabilir bir referans ve çalışmasını sağlayan anahtar öngörüler sağlayın.

Cevap başına sadece bir algoritma lütfen.

Sendika bulma en iyi algoritması / veri yapısı ( Disjoint Set Forest ) spagetti yığınına dayanan güzel bir sorundur . Zeki bir çocuğa açıklamak için yeterince basit ve sezgisel olsa da, çalışma süresine sıkı sıkıya bağlı kalmak birkaç yıl aldı. Nihayetinde, davranışının, keşfi hesaplama açısından bir bakış açısına işaret eden bir fonksiyon olan ters Ackermann Fonksiyonu ile ilişkili olduğu keşfedildi (ve aslında Hilbert's On the Infinite'e dahil edildi ).

Wikipedia, Disjoint Set Forests için iyi bir giriş sağlar .

Knuth-Morris-Pratt string eşleşmesi. Şimdiye kadar göreceğiniz en zarif sekiz kod satırı.

Blum, Floyd, Pratt, Rivest ve Tarjan algoritması için bulmak k bir sıralanmamış listenin eleman inci güzel algoritmadır doğrusal zamanda ve sayılar çünkü sadece çalışır sadece sağ Usta Teoremi sığacak şekilde. Aşağıdaki gibi gider:

1. Beş elementin her bir sırasını sıralayın.
2. Her birinde medyanı seç.
3. Bu listenin ortancasını bulmak için tekrarla.
4. Medyanların medyanı üzerindeki eksen (Quicksort'ta olduğu gibi)
5. Listenin uygun tarafını seçin ve o listede konumlandırın ve tekrarlayın.

İkili Arama , şimdiye kadar karşılaştığım en basit, güzel ve kullanışlı algoritma.

Ben görmemek şaşırıyorum Floyd-Warshall algoritmasını burada tüm çiftleri en kısa yollar için:

d[]: 2D array. d[i,j] is the cost of edge ij, or inf if there is no such edge.

for k from 1 to n:
  for i from 1 to n:
    for j from 1 to n:
      d[i,j] = min(d[i,j], d[i,k] + d[k,j])

En kısa, en açık olmayan en önemsiz algoritmalardan biri ve performansı, kenarları olabileceğini düşündüğünüzde çok acayip . Dinamik programlama için poster çocuğum olacak!O ( n, 2$O(n^3)$$O(n^2)$

En büyük ortak böleni (GCD) hesaplamak için Öklid algoritması

Belki biraz önemsiz görünebilir (özellikle diğer cevaplarla karşılaştırıldığında), ancak Quicksort'un gerçekten zarif olduğunu düşünüyorum . Bunu ilk gördüğümde gerçekten karmaşık olduğunu düşündüğümü hatırlıyorum, ama şimdi her şey çok basit görünüyor.

Huffman veri sıkıştırması için kodlama yapıyor.

Miller-Rabin asallık testi (ve benzeri testleri) Kitabında olmalıdır. Buradaki fikir, olasılıkla asal olmayan sayıya şahit aramak için primerlerin özelliklerinden (yani Fermat'ın küçük teoremini kullanarak) faydalanmaktır. Yeterli rastgele testten sonra tanık bulunamazsa, sayı asal olarak sınıflandırılır.

Bu notta, PRIMES'in P de olduğunu gösteren AKS ilkellik testi kesinlikle Kitap'ta olmalı!

Schwartz-Zippel lemması ile polinom kimliği testi :

Biri sizi gecenin ortasında uyandırdı ve sizden kimlik için iki tek değişkenli polinom ifadesini test etmenizi isterse, bunları normal ürün toplam formuna indirger ve yapısal kimliği karşılaştırırsınız. Ne yazık ki, azaltma üssel zaman alabilir; Boole ifadelerini düşürücü normal forma indirgemeye benzer.

Rastgele randomize algoritmaları seven bir sınıf olduğunuzu varsayarsak, bir sonraki girişiminiz, polinomları yeterince testten geçmeleri durumunda özdeş olmalarının muhtemel olduğunu ilan ederek, karşı örneklerin aranmasında rastgele seçilen noktalarda polinomları değerlendirmek olacaktır. Schwartz-Zippel lemması, puanların sayısı arttıkça, yanlış bir pozitif şansın çok hızlı azaldığını göstermektedir.

Polinom zamanında çalışan problem için deterministik bir algoritma bilinmemektedir.

Derinlik İlk Arama . Diğer birçok algoritmanın temelidir. Aynı zamanda aldatıcı bir şekilde basittir: Örneğin, BFS uygulamasındaki kuyruğu bir yığınla değiştirirseniz, DFS alıyor musunuz?

Dijkstra algoritması : negatif olmayan kenar yolu maliyeti olan bir grafik için tek kaynaklı en kısa yol problemi. Her yerde kullanılır ve orada en güzel algoritmalardan biridir. İnternet, onsuz yönlendirilemez - IS-IS ve OSPF (Önce Önce En Kısa Yolu Aç) yönlendirme protokollerinin temel bir parçasıdır.

1. Her düğüme bir mesafe değeri atayın. İlk düğümümüz için sıfıra, diğer bütün düğümler için sonsuzluğa ayarlayın.
2. Tüm düğümleri görünmeyen olarak işaretle. İlk düğümü geçerli olarak ayarla.
3. Geçerli düğüm için, tüm ziyaret edilmeyen komşularını göz önünde bulundurun ve geçici mesafelerini (ilk düğümden) hesaplayın. Örneğin, geçerli düğüm (A) 6 olan mesafeye sahipse ve onu başka bir düğüme (B) bağlayan bir kenar 2 ise, B ila A arasındaki mesafe 6 + 2 = 8 olacaktır. Bu mesafe önceden kaydedilmiş olan mesafeden az ise (başlangıçtaki sonsuzluk, ilk düğüm için sıfır), mesafenin üzerine yazın.
4. Mevcut düğümün tüm komşularını dikkate aldığımızda, onu ziyaret edilmiş olarak işaretleyin. Ziyaret edilen bir düğüm bir daha hiç kontrol edilmeyecek; Şimdi kaydedilen mesafe son ve minimumdur.
5. Tüm düğümler ziyaret edilmişse, tamamlayın. Aksi halde, görülmeyen düğümü en küçük mesafeye (ilk düğümden) sonraki "geçerli düğüm" olarak ayarlayın ve 3. adımdan itibaren devam edin.

Eratosthenes Elek basit ve sezgisel.

Ayrıca Horner'ın Algoritmasının güzelliğini de seviyorum .

Gentry'nin Tamamen Homomorfik Şifreleme Düzeni (ideal kafesler üzerinden veya tamsayılar üzerinden) çok güzel. Üçüncü bir tarafın şifreli veriler üzerinde özel bir anahtara erişmeden keyfi hesaplamalar yapmasına izin verir.

Şifreleme şeması birkaç keskin gözlemden kaynaklanmaktadır.

• Tamamen homomorfik bir şifreleme şeması elde etmek için, sadece toplama ve çarpma üzerinde homomorfik olan bir şemaya sahip olmak gerekir. Bunun nedeni toplama ve çarpma işlemlerinin (mod 2) AND, OR ve NOT geçitlerini (ve dolayısıyla Turing Completeness) almak için yeterli olmasıdır.
• Eğer böyle bir şemanın olması gerekiyorsa, ancak bazı sınırlamalar nedeniyle, sadece bazı sonlu derinlikteki devreler için gerçekleştirilebildi ise, o zaman kişi gizlilikten ödün vermeden devre derinlik sınırlamasını sıfırlamak için şifre çözme ve yeniden açma prosedürünü homomorfik olarak değerlendirebilir.
• Şema için şifre çözme fonksiyonunun devre versiyonunun derinliğini "ezmek" ile, kişi başlangıçta sonlu, sığ devrelerde isteğe bağlı sayıda hesaplama ile sınırlı bir şema mümkün olabilir.

Tezinde, Craig Gentry kriptografide uzun süredir açık (ve muhteşem) bir problem çözdü. Tamamen homomorfik bir şemanın mevcut olması, başka türlü göz ardı edebileceğimiz hesaplanabilirlik için bazı yapısal bir yapı olduğunun farkında olmamızı gerektirir.

http://crypto.stanford.edu/craig/craig-thesis.pdf

http://eprint.iacr.org/2009/616.pdf

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1666420.1666445

Cooley-Tukey FFT Algoritması .

Strassen'in matris çarpımı algoritması .

Gale-Shapley'in kararlı evlilik algoritması . Bu algoritma açgözlü ve çok basittir, ilk başta neden işe yarayıp yaramayacağı belli değildir, ancak daha sonra doğruluk ispatının anlaşılması kolaydır.

Sonek dizileri oluşturmak için doğrusal zaman algoritması gerçekten güzeldir, ancak hak ettiği tanıma ulaşamamıştır. Http://www.cs.helsinki.fi/u/tpkarkka/publications/icalp03.pdf

Gauss elimine etme. Öklid GCD algoritmasından genelleştirme sırasını Knuth-Bendix'e kadar tamamlar.

Rezervuar örneklemesi için algoritma ve bunun kanıtını ilk gördüğümde etkilendim . Son derece basit bir çözüm ile tipik "zeka" tipi bir bilmecedir. Hem algoritmalar hem de matematik teoremleri için kesinlikle kitaplara ait olduğunu düşünüyorum.

Kitaba gelince, hikayeye göre Erdös öldüğünde ve cennete gittiğinde Tanrı ile görüşmeyi talep etti. Talep kabul edildi ve toplantı için Erdös'in tek bir sorusu vardı. "Kitaba bakabilir miyim?" Tanrı evet dedi ve Erdös'ü ona yönlendirdi. Tabii ki çok heyecanlı olan Erdös, kitabı sadece aşağıdakileri görmek için açar.

Teorem 1: ...
Kanıt: Açık.

Teorem 2: ...
Kanıt: Açık.

Teorem 3: ...
Kanıt: Açık.

Kaplumbağa ve tavşan Algoritması . Sevdim çünkü hayatım boyunca onu bulmaya çalışarak harcadığımdan bile, böyle bir Fikir bulmamın mümkün olmadığından eminim.

Öklid'in sonsuz sayıda asalın kanıtı olarak temel ve önemsiz bir örnek:

MAX-CUT için 2-yaklaşım - Her tepe noktası için bağımsız olarak, eşit olasılıkla iki bölümden birine atayın.

Her zaman Christofides’in algoritması için kısmi oldum, bu metrik TSP’ye (3/2) yaklaşıyor. Aslında, lütfen beni kolay ara, ama daha önce gelen 2-yaklaşım algoritmasını sevdim . Christofides'in tuhaf derece köşeleri eşleştirerek (tüm kenarları çoğaltmak yerine) minimum ağırlık alan bir ağaç Eulerian yapma hilesi basit ve zariftir ve bu eşleşmenin ağırlığın yarısından daha fazlasına sahip olmadığına ikna etmek çok az zaman alır optimum bir tur.

Sıralama Birleştir . Basit, zarif, verimli.

Peki Grover algoritmasına ? En basit kuantum algoritmalarından biridir ve sıralanmamış bir veritabanını ile aramanıza izin verir.$O(\sqrt N)$

Doğrusal programlama için algoritmalar : Simpleks, elipsoid ve iç nokta yöntemleri.

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_programming#Algorithms

Belirli bir SAT örneği sınıfını çözmek için Robin Moser algoritması. Bu tür örnekler Lovasz Local Lemma tarafından çözülebilir. Moser algoritması gerçekten de lemma ifadesinin rastgele bir şekilde dağıtılmasıdır.

Bence bu, algoritmasının (ve doğruluk ispatının tekniği) yıllarca iyi sindirileceğini ve Kitaptan bir Algoritma için uygun bir aday olma noktasına getirileceğini düşünüyorum .

Bu sürüm , Gábor Tardos ile yazılmış orijinal makalesinin bir uzantısıdır.

Marcus Hutter'ın Tüm Tanımlı Problemler İçin En Hızlı ve En Kısa Algoritma .

Bu tür listedeki diğer tekliflerin ruhuna aykırıdır, çünkü sadece teorik ve pratik çıkarları yoktur, ancak daha sonra yine başlık türünü söyler. Belki de sadece bir algoritmanın asimptotik davranışına bakacak olanlar için uyarıcı bir hikaye olarak dahil edilmelidir.

Knuth'un Algoritması X , tam kapak problemine yönelik tüm çözümleri bulur . Bu kadar büyülü olan, etkili bir şekilde uygulamak için önerdiği tekniktir: Dancing Links .

Bence en düşük ortak ata sorgularını sabit bir zamanda cevaplayan , ormanı lineer zamanda ön işleme tabi tutan Schieber-Vishkin 'in dahil edilmesi gerektiğini düşünüyorum .

Ben Cilt 4 Fascicle 1'de Knuth'un fuar ve ister onun musing . Tam olarak anlaması iki gün sürdü, sözlerini hatırlıyorum:

Bence çok güzel ama şaşırtıcı bir şekilde literatürde kötü bir baskı var (..) Beni heyecanlandıran matematiğe dayanıyor.